- •Основные понятия вычислительной математики.
- •Решение нелинейного уравнения методом простых итераций. Понятие сжимающего отображения. Теорема о сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод простой итераций.
- •Условие сходимости метода. Понятие сжимающего отображения.
- •Усовершенствование итерационного процесса. Условия для выбора числа r. Геометрическая интерпретация Модификация итерационного процесса.
- •Геометрическая интерпретация.
- •Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Условия сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Ньютона.
- •Условие сходимости метода Ньютона
- •Геометрическая интерпретация.
- •Метод секущих для решения нелинейных уравнений. Условие сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод секущих.
- •Метод Стефенсона. Условие сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Стефенсона.
- •Геометрическая интерпритация.
- •Численные методы линейной алгебры.
- •Прямые и итерационные методы. Условие сходимости итерационных методов. Метод Гаусса.
- •Метод простой итерации.
- •Сходимость метода простой итерации.
- •Метод Зейделя.
- •Метод релаксации.
- •Метод прогонки.
- •Вычисление собственных чисел матрицы.
- •Метод итерации и Ньютона решения сну. Теоремы о сходимости.
- •Сходимость метода.
- •Метод Ньютона.
- •Сходимость метода.
- •Вопрос приближения функций. Понятие точечной и интерполяционной аппроксимации.
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о единственности.
- •Многочлен Ньютона с распределенными разностями.
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •Сплайны.
- •Линейная и квадратичная интерполяция.
- •Характер экспериментальных данных.
- •Метод выбранных точек и средних.
- •Метод наименьших квадратов.
- •Равномерное приближение функции.
- •Численное интегрирование и дифференцирование.
- •Общая постановка задачи Коши.
- •Метод Эйлера.
- •Метод Рунге - Кутта.
- •Метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности:
- •Постановка 2-х точной краевой задачи.
- •Метод конечных разностей
- •Метод Адамса.
Основные понятия вычислительной математики.
П рименение ВТ базируется на описании процессов реального мира мат. модели, которая представляет собой совокупность обычных интегральных и дифференциальных уравнений. Всякая математическая модель представляет собой математическое преобразование вида «черный ящик», где x(x1..xn) вектор входных параметров объектов, y(y1..ym) вектор управлений воздействий на объект, U(U1..Uk) совокупность выходных параметров объектов и F - оператор преобразования.
Для решения математических задач применяется 3 группы методов: аналитические, графические, численные.
Графические методы предполагают искать решение с помощью геометрических построений.
Аналитические методы предполагают искать решение задачи в виде формулы.
Численные методы являются основными методами в САПР. В их основе лежит процедура сведения решения задачи к конечному числу арифметических действий над числами, и получить результат в виде численных значений.
Основные требования и показатели численных методов является устойчивость, точность, сходимость, эффективность (скорость сходимости).
Алгоритм считается устойчивым, если он обеспечивает нахождение существующего и единственного решения при различных исходных данных.
С ходимость является основным критерием оценки алгоритма. Алгоритм сходится, если итерационная последовательность приближений x1,x2,...,xk x* , k , т. е.
Скорость сходимости выражается в количестве шагов, которое метод затрачивает для поиска решения.
Алгоритм обладает линейной скоростью сходимости, если a<q<b, |xk-1-x*|≤q|xk-x*|.
Алгоритм обладает сверхлинейной скоростью сходимости, если выполняется условие |xk+1-x*|qk |xk-x*| , q 0 , k .
Алгоритм обладает квадратичной скоростью сходимости, если |xk+1-x*|q|xk-x*|2.
Решение нелинейного уравнения методом простых итераций. Понятие сжимающего отображения. Теорема о сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод простой итераций.
Пусть требуется решить уравнения вида f(x)=0 (1), где f(x) - непрерывная функция.
Чтобы решить уравнения (1) его необходимо преобразовать к виду x=(x) (2). Зададим начальное приближение x0 и подставим его в правую часть уравнения (2), получим значение х1. Повторяя этот процесс можно получить итерационную последовательность приближения к корню уравнения (1). В общем виде описанную формулой xk+1=(xk), k 0.
Если существует придел x*=limxk, то исходя из непрерывности функции (x) можно записать x*=(x*) – корень уравнения (1).
Условие сходимости метода. Понятие сжимающего отображения.
Т еорема: Пусть в некоторой δ - окрестности корня х* функция φ(х) дифференцируема и удовлетворяет неравенству |φ'(x)|≤ q, 0 < q < 1. Тогда независимо от выбора начального приближения х0 из указанной δ - окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности и справедлива следующая оценка сходимости: |xk-x*|<q|x0-xk| что говорит о линейной скорости сходимости.
Решить вопрос о сходимости метода можно с помощью понятия сжимающее отображение.
Доказательство: Возьмем непрерывную функцию φ(х) заданную на некотором отрезке [a;b]. Каждой точке x из отрезка [a;b] соответствует некоторое значение y = φ(х) на оси ординат. Т.е. функция отрезка a;b задает отображение на оси ординат. Чтобы сравнить образ отрезка с ним самим отобразим отобразить точки на оси 0y через симметрично относительно прямой y=x. Если образ отрезка a;b является частью a;b , то (x) отображает a;b в себя. Будем продолжать этот процесс бесконечно и полечим последовательность отрезков. Если после каждого отображения отрезок уменьшается в М>1 раз, то отображение называется сжимающим и можно записать следующее
|φ(a)-φ(b)|≤q|a-b|, q=1/M.