26. Метод Адамса.

Недостатком одношаговых методов является, то что после нахождения y_n значение y_n-1 забывается, т.е. не приме6няется в следующем вычислении. Однако можно извлечь положительную пользу использования значений y_n-1, y_n-2 … при вычислении y. Такие методы называются многошаговыми. Наиболее распространенный из них метод Адамса.

; это уравнение позволяет найти значение функции используя k предыдущих значений y_i. Поэтому предварительно необходимо задать значения y_1, y_2….

В случае если β=0, то метод является явным, т.к. значение y_n+1 выражается через найденные ранее значения по явной формуле

Если же β≠0, то для нахождения y_n+1 придется решать нелинейное уравнение , где . В этом случае метод является неявным. Для вывода конкретных расчетных формул используем равенства .

Если под интегралом приближенно заменить функцию интерполяционным многочленом P_k-1(t) принимающий в узлах t_n,t_n-1, … , t_n-k+1 значения f_n,f_n-1, … , f_n-k+1. Интегрирование интерполяционного многочлена приводит к равенству В этом случае получается явная k-шаговая формула Адамса-Башфорда или экстрополяционная формула Адамса.

Если же функция f(t,y) заменить многочленом k-й степени Q_k(t) совпадающим со значениеми f_n-k+1, … , f_n-1, f_n, f_n+1 в узлах t_n-k+1, … , t_n-1, t_n, t_n+1, то получится формула вида соответствующая неявному k-шаговому методу Адамсу-Моултона или интерполяционному методу Адамса. Выглядит след. образом:

Их интегрирование дает следующее:

Т.о. примет вид:

Аналогично формулы Адамсу-Моултона пинимает вид:

Значения y_n+1 можно найти для неявеых методов путем решения метода простой итерации уравнением вида: , , ,