Входная информация

Основные понятия темы. Они представлены в виде таблицы.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы на все устные упражнения приведенные ниже. Затем свои ответы сверьте с ответами или краткими указания, помещенными в конце этого учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Задание 2. Изобразите на координатной прямой промежуток:

а) [–1; 3]; б) (–2; 2); в) (1; ¥); г) [3; ¥);

д) (–¥; 4); е) (–¥; –2]; ж) (–¥; +¥).

Задание3. Запишите промежутки, изображенные на рисунке 20, в виде неравенства.

Задание 4. Принадлежит ли промежутку [–4,5; p) число –3; –7; 0; 3,14; 9,1?

Задание 5. Укажите два положительных и два отрицательных рациональных числа, принадлежащих промежутку:

а) (–1; 1); б) [–4; 8).

Задание 6. Какие из целых чисел принадлежат промежутку:

а) [–2; 2]; б) (–5,2; 6,25]; в) (–3; –2); г) (–1; 0)?

Задание 7. Укажите наибольшее или наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:

а) [–4; 5]; б) [–2,3; 1,7); в) (–¥; 24]; г) (–3; +¥).

Задание 8. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

а) [1; 7] и [2; 4]; г) (3; +¥) и (–¥; 2);

б) (1; 5) и (2; 4); д) (–3; +¥) и (4; +¥);

в) [–2; 3) и (–7; 2); е) (–¥; +¥) и (p; 5).

Задание 9. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:

а) [5; 9] и [–3; 5]; в) [5; +¥) и (3; +¥);

б) [3; 7) и [7; 10]; г) [1; 3] и (–6; 2).

Задание 10. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

а) [–5; 3] и [–3; 7]; в) (–¥; 3] и (1; +¥);

б) (1; 0) и [0; 5]; г) [–7; 12] и [3; 4].

Задание 11. Пусть Z₀– множество целых чисел х, таких, что –12 £ x £ –3. Выпишите его элементы.

Задание 12. Изобразите на координатной прямой множество всех целых чисел, принадлежащих отрезку [–5; 5].

Задание Выпишите из множества {1,41; 1,414; 1,42; 1,415; 1,73; 1,732; 1,74; 1,7333} все элементы, которые принадлежат промежутку (; ).

Задание Выпишите из множества {1,41; 1,414; 1,42; 1,415; 2,42; 2,428; 2,43; 2,429} все элементы, которые принадлежат промежутку (; ).

Задание 15. Сколько рациональных и иррациональных чисел содержит промежуток (; ).

Задание 16. Пусть 0 < a < b. Докажите, что на координатной прямой:

а) точка – середина отрезка [а; b];

б) точка – середина отрезка [–b; а];

в) точка – середина отрезка [–а; b];

г) точка – середина отрезка [–b; –a];

УЭ-4. Решение задач по теме

«Линейное неравенство с одной переменной»

Ваша цель: знать определения понятий «линейное неравенство», «решение неравенства», «равносильные неравенства»; знать, что значит решить неравенство; знать и уметь применять утверждения, на основе которых осуществляются равносильные переходы; уметь решать линейные неравенства в общем виде.

Входная информация

Понятие линейного неравенства. Напомним, что называют линейным неравенством.

Неравенства вида ах > b, ах < b, ах ³ b, ах £ b, где а и b – некоторые действительные числа, х – переменная, называются линейными.

Примерами линейных неравенств являются: 2x > 3, 7х < 8, х > 3, 0,5x < –1.

Что значит решить неравенство. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Например, число 1 – решение неравенства 7x < 8, так как 7$1 < 8 –верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Например, неравенство 0 х > 1 не имеет решений, поскольку при любом действительном х получается неверное числовое неравенство.

Понятие равносильности неравенств. Важно знать и понимать определения понятия равносильности неравенств.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение линейного неравенства в общем виде. Пусть дано неравенство ах > b.

Если а > 0, то неравенство ах > b равносильно неравенству х > (свойство 2), значит, множество решений неравенства есть промежуток .

Если а < 0, то неравенство ах > b равносильно неравенству х < (свойство 3), и поэтому множество решений неравенства есть промежуток (–¥; ).

Если а = 0, то неравенство принимает вид 0 x > b, т.е. оно не имеет решений, если b ³ 0, и решением является множество действительных чисел R, если b < 0.

Алгоритм решения линейного неравенства в общем виде показан в таблице 3.

Таблица 3

aх > b, a, b Î R
a > 0	b – любое число	x >
a < 0	b – любое число	x <
a = 0	b ³ 0	решений нет
	b < 0	х – любое число