5) Найденные множества решений объединяют и записывают ответ.
Учимся решать неравенства с модулем методом промежутков. Ознакомьтесь с примерами решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, методом промежутков.
Пример 1. Решим неравенство:
|x + 2| + |x – 3| > х + 5.
Решение. Нули подмодульных выражений: числа –2 и 3, они разбивают координатную прямую на три промежутка, которые можно задать неравенствами: х < –2, –2 £ x £ 3 и x > 3. Будем искать решения неравенства на каждом из промежутков.
Û Û (x < –2).
Û Û (–2 £ x 0).
3) Û Û (x > 6).
Находим объединение полученных решений и записываем ответ.
Ответ: (–¥; 0) U (6; +¥).
Практическая часть
Задание 1. Решите неравенство:
а) |х – 3| ³ 2х + 1; в) |х – 2| < ;
б) |3х + 1| ³ 7х – 5; г) |х – 1| < .
Задание 2. Решите неравенство:
а) 2 |х + 1| > х + 4; в) 4 |х + 2| < 2х + 10;
б) 3 |х – 1| £ х + 3; г) 3 |х + 1| ³ х + 5.
Задание 3. Решите неравенство:
а) |х – 2| + |х + 3| > 5;
б) |2х + 5| – |3х – 4| £ 2х – 4;
в) |5 – 2х| + |3х – 4| ³ 2х + 3;
г) |х – 1| + 2 |2х + 3| – |2 – х| > 5 + |х|.
Задание 4. Решите неравенство |х + 1| + |х – 4| > 7, указав наименьшее целое положительное х, удовлетворяющее этому неравенству.
УЭ-10.
Решение неравенств вида
(
вместо знака
<
может стоять любой из знаков
).
Ваша цель: научиться решать неравенства данного вида
Входная информация
Метод промежутков является наиболее универсальным способом решения неравенств. Однако в некоторых случаях целесообразно использовать другие методы.
Метод равносильных переходов. Используют равносильные переходы, позволяющие избавиться от знака модуля. Приведем некоторые из них, применяемые при решении простейших неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
1. Если
,
то
.
2. Если , то неравенство решений не имеет.
Учимся решать неравенства различными способами.
Пример 1. Решим неравенство:
|x – 1| < 3.
Решение.
1-й способ. Поскольку |x – 1| можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1, то по условию задачи нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки 1 меньше чем на 3 единицы (рис.8 ).
Отсюда находим множество решений неравенства: (–2; 4).
2-й способ. Поскольку
|x – 1| =
то заданное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
или
Из первой системы получаем, что 1 £ х < 4, а из второй – что –2<x<1. Объединив промежутки (–2; 1) и [1; 4), получаем (–2; 4) – решение заданного неравенства.
3-й способ. Данное неравенство |x – 1| < 3 равносильно двойному неравенству –3 < x – 1 < 3, т.е. –2 < x < 4.
Ответ: (–2; 4).
1. Если
,
то
.
2.
.
3. Если
,
то неравенство
решений не имеет.
1. Если
,
то
.
2. Множество решений
неравенства
совпадает с областью определения
выражения
,
из которой исключены корни уравнения
.
3. Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения .
1. Если
,
то
.
2. Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения .
Рассмотрим некоторые из них на примере решения неравенств вида , где вместо знака < может стоять любой из знаков .
Пример 2. Решить неравенство
|2x + 5| ³ 6.
Решение. 1-й способ. Разделив обе части данного неравенства на положительное число 2, получим равносильное неравенство
|2x + 2,5| ³ 3.
Задачу можно переформулировать так: на координатной прямой найти все такие точки х, которые удалены от точки –2,5 на расстояние, большее или равное 3 (рис. 9.29). Получаем: x £ –5,5 либо х ³ 0,5, т.е. объединение числовых промежутков (–¥; –5,5] и [0,5; +¥) является решением данного неравенства.
2-й способ. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств
Выполнив равносильные преобразования, получим: х ³ 0,5 либо x £ –5,5. Объединив решения полученных неравенств, получим ответ.
Ответ: (–¥; –5,5] U [0,5; +¥).
Задание. Решите неравенство |2x + 5| ³ 6 третьим способом, основанным на раскрытии знака модуля.