Рубрика «Ваш помощник»

1. а) а = 3, b = –7, с = 5; б) а = –1, b = 1, с = –7;

в) а = –5, b = 12, с = 3; г) а = 1, b = 9, с = –6.

2. а) –23; б) 76.

3. а) нет корней; б) два различных корня; в) два равных корня; г) два различных корня.

5. В случае а) рассуждение может быть таким: подставим вместо переменной х ее значение –1, получим требуемое равенство а + b + с = 0.

6. а) х² – 4х + 7 = 0; б) х² – 3х + 2,5 = 0; в) х² + 4х – 6 = 0;

г) х² – х + 9 = 0.

7. а = 3.

8.Доказательство: а) (х + 3)² + 1 = 0; б) (х – 2)² + 1 = 0.

.

9. а = 1.

10. q = –680.

УЭ- 3 . Разложение квадратного трехчлена

На линейные множители

Ваша цель: актуальзация знаний. умений и навыков. Полученных на уроках математики.

Входная информация

Понятие квадратного трехчлена. Многочлен

(a ≠ 0) называют квадратным трехчленом .

Корни квадратного трехчлена – это корни уравнения .

Разложение квадратного трехчлена на множители.

1. Если и – корни квадратного трехчлена, то

.

2. Если дискриминант квадратного трехчлена D = 0, то в этом случае имеет место равенство:

.

Множители и называют линейными множителями, поэтому запись трехчлена в виде называют разложением квадратного трехчлена на линейные множители.

3. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Пример 2. Разложим на линейные множители квадратный трехчлен .

Решение. Находим дискриминант: D = (–8) – 4 · 3 · 5 = 4; D > 0. Следовательно, данный квадратный трехчлен можно раз­ложить на линейные множители.

Вычислим и :

.

.

Следовательно, .

Упражнения

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко всем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Разложите на множители:

а) 49х² – 16; в) х² + 6х + 9;

б) 25 – 81х²; г) 1 – 6х + 25х².

2. Выражение 5а – 2b представьте в виде произведения, в котором один из множителей равен: а) 5; б) 2; в) а; г) b.

3. Выделите квадрат двучлена:

а) х² + 2х + 2; в) х² + 10х + 26;

б) х² + 4х + 5; г) х² + 8х – 20.

4. Разложите многочлен на множители:

а) а² – b²; в) 81 – (m² + 6m)²;

б) c² – d²; г) 16 – (n² – 4n)²/

5. Решите уравнение:

а) х² – 9 = 0; б) (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0; в) х² – 7х = 0.

6. Сократите дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Докажите, что:

а) 48⁷ – 48⁶ кратно 47; в) 5²³ – 5²¹ кратно 24;

б) 24⁸ – 24⁷ кратно 23; г) 15¹³ + 15¹² кратно 30.

8. Найдите значение выражения х³ + 2х при х = –2.

9. Верно ли равенство:

а) а² – 2аb – b² = (b – а)²; б) а² + 2аb + b² = (– а – b)² ?

10. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

а) р² – 1,6р + 0,64; б) 25 + 10р + р².

11. Найдите наименьшее значение трехчлена х²– 6х + 10.

12. Высказали гипотезу: «При любом натуральном значении х трехчлена х² + х + 41 – простое число». Истинность ее проверили при х равном 1, 2, 3, …, 30, и 30 раз действительно получилось простое число. Верна ли эта гипотеза ?

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Найдите корни квадратного трехчлена:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

Задание 3. Разложите на линейные множители:

а) ; е) ;

б) ; ж) ;

в) ; з) ;

г) ; и) ;

д) ; к) .

Задание 4.Разложите на линейные множители:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) ;

Задание 5. Сократите дробь:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 6.Разложите многочлены на множители и найдите все значения x , при которых оба многочлена принимают значение нуль:

а) и ; г) и ;

б) и ; д) и .

Задание 7.Сократите дробь: .

Рубрика «Ваш помощник»

1. а) (7х – 4) (7х + 4); б) (5 – 9х) (5 + 9х); в) (х + 3)².

2. а) 5; б) 2; в) а; г) b.

3. а) (х + 1)² + 1; б) (х + 2)² + 1; в) (х + 5)² + 1; г) (х + 4)² – 36.

4. а) (a – b) (a + b); б) (c – d) (c + d); в) (9 – m² – 6m) (9 + m² + 6m); г) (4 – n² + 4n) (4 + n² – 4n).

5. а) –3; 3; б) 1; 2; 3; в) 0; 7.

6. а) –; б) –; в) ; г) 2.

7. а) 48⁷ – 48⁶ = 48⁶ (48 – 1) = 48⁶ × 47 M 47;

б) 24⁸ – 24⁷ = 24⁷ (24 – 1) = 24⁷ × 23 M 23;

в) 5²³ – 5²¹ = 5²¹ (5² – 1) = 5²¹× 24 M 24;

г) 15¹³ + 15¹² = 15¹² (5 + 1) = 15¹² × 6 = 15¹¹ × 30 M 30.

8. –12.

9. а) Неверно; б) верно.

10. а) (р – 0,8)²; б) (5 + р)².

11. х²– 6х + 10 = (х – 3)² + 1. Наименьшее значение трехчлена равно 1.

12. Нет, например, при х= 41 получаем составное число.

К заданию 7 .

УЭ 4 . Решение задач с помощью квадратных уравнений

Ваша цель: закрепить умения и навыки по решению текстовых задач с помощью уравнений.

Входная информация

Вы уже знакомы с решением текстовых задач с помощью линейных уравнений. Теперь рассмотрим решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений. Квадратные уравнения позволяют решать многие задачи физики, химии, техники. В ходе решения текстовых задач можно проследить схему применения аппарата математики к изучению действительности. Она состоит из трех этапов.

1-й этап. Перевод реальной ситуации на математический язык (составление уравнения).

2-й этап. Решение задачи внутри построенной математической модели (решение уравнения).

3-й этап. Интерпретация полученного решения (сопоставление полученных решений с условием задачи).

Задача 1. Из двух натуральных чисел второе больше первого в 8 раз. Найти эти числа, если их произведение равно 392.

Решение. Пусть первое число х, тогда второе – 8x. По условию задачи составляем уравнение:

x · 8x = 392,

= 392, или = 49, откуда .

Составленное уравнение имеет два корня: – 7 и 7.

По условию допустимыми значениями переменной являются только натуральные числа, поэтому число –7 не является решением задачи. Значит, первое число равно 7, а второе 56.

Ответ: 7 и 56.

3адача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью (м/с). Через сколько секунд оно будет на высоте h (м) над точкой бросания ?

Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h (м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t секунд, может быть найдена по формуле

, (1)

где – начальная скорость (м/с); g – ускорение свободного падения (м/с²).

Формулу (1) преобразуем к виду:

.

Применяя формулу для корней квадратного уравне­ния, получим:

.

По смыслу задачи > 0, g > 0, h > 0, искомое время t > 0.

Если < 2gh (т. е. ), то уравнение не имеет действительных корней. Значит, начальная скорость недостаточна для того, чтобы тело могло подняться на высоту h.

Если (т. е. ), то уравнение имеет единственный корень: физический смысл задачи заключается в том, что через секунд тело достигнет высоты h один раз.

Если (т. е. ), то уравнение имеет два корня и и притом оба положительных, так как

и .

Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня. Тело брошено с такой скоростью, что могло подняться выше, чем на h м. Поэтому оно побывало на высоте h м дважды: при движении вверх и при падении вниз.

Упражнения

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Составьте уравнение для решения задачи:

а) Одно число больше другого на 3, а их произведение равно 70. Найдите эти числа.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите катеты треугольника, если известно, что один из катетов больше другого на 2 см.

2. Составьте уравнение для решения задачи:

а) Одно число больше другого на 9, а квадрат его на 279 больше квадрата другого числа. Найдите эти числа.

б) В прямоугольном треугольнике один катет на 8 см меньше гипотенузы, а другой катер на 4 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

в) Найдите три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 1589.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. а) Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 156. Найдите эти числа.

б) Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого, равно 198. Найдите эти числа.

Задание 3. Катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 8 см, другой катет равен 20 см. Найдите периметр треугольника.

Задание 4. Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см, а гипотенуза 15 см. Найдите катеты треугольника.

Задание 5.. Периметр прямоугольника равен 58 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см, а другую – на 3 см, то площадь прямоугольника увеличится на 126 см². Найдите стороны прямоугольника.

Задание 6. Радиус одной из двух концентрических окружностей на 5 см больше радиуса другой. Площадь кольца, заключенного между этими окружностями, составляет 1,25 площади малого круга. Найдите радиусы окружностей. (Указание. .)

Задание 7. Каждый учащийся одного класса задумал поздравить с Новым годом каждого своего одноклассника поздравительной открыткой. Оказалось при этом, что было послано 1332 открытки. Сколько было учащихся в этом классе ?

Задание 8. На плоскости дано несколько точек. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Всякие две точки соединены отрезком. Таких отрезков оказалось 190. Сколько было точек на плоскости ?

Задание 9. В футбольном турнире сыграно 240 матчей, причем каждая команда играет со всеми остальными на своем и чужом полях по одному разу. Сколько футбольных команд участвовало в турнире ?

Задание 10. По окончании парусной регаты все экипажи обменялись друг с другом памятными вымпелами. Сколько экипажей участвовало в состязании, если количество вымпелов оказалось равным 506 ?

Задание 11. В однокруговом шахматном турнире было сыграно 105 партий. Сколько человек участвовало в соревновании ?