Рубрика «Ваш помощник»

1. а) 5; б) 5; в) 0; г) –p.

2. а) || > –; б) |–p| = p; в) |0| = 0; г) |–7,3| > –7,3;

д) – |–3| = –3; е) если а = 0, то |а| = 0; если а ¹ 0, то |а| > 0.

3. |а| + |b| + |с| ¹ 0 либо а² + b² + с² ¹ 0.

4. |а| + |b| + |с| = 0 либо а² + b² + с² = 0.

5. а) Если а ³ 0, то |а| – а = 0; если а < 0, то |а| – а = –2а.

6. а) {–3; 3}; б) {0}; в) Æ; г) {–1; 7}; д) {2,5}; е) Æ.

7. а) х ³ 0; б) х £ 0; в) х = у или х = –у.

8. а) [2; +¥); б) (–¥; 2]; в) {5}; г) {5, 5}.

9. а) у ³ 0; б) у £ 0.

10. а) (–¥; 0); б) (–¥; ¥); в) (0; ¥); г) (–¥; ¥); д) [0; ¥); е) (–¥; 0].

11. а) а ³ 0; б) а £ 0; в) а ³ 0; г) а = –1; д) а > 0.

12. а) b £ –1 или b ³ 1; б) –1 < b < 1; в) b = 0; г) R;

д) –2 < b < –1 или 1 < b < 2.

К заданию 2. а) 1,5 ; б) 3,5; 4,5; в) 2.%; е) нет решений.

К заданию 3. а) -2,4; б) -1; 4; в) 6; г) -0,5; 0,5; д) 0; 2.

УЭ-5. Метод промежутков при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Ваша цель: уяснить сущность метода промежутков и уметь применять его к решению уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Входная информация

Сущность метода промежутков. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, часто решают, используя метод промежутков. Сущность метода промежутков состоит в следующем:

1) находят нули подмодульных выражений;

2) разбивают координатную прямую нулями подмодульных выражений на промежутки;

3) на каждом полученном промежутке уравнение записывается без знака модуля и решается с учетом их;

4) найденные множества решений объединяются и записывают ответ.

Учимся решать уравнения с модулем методом промежутков. Рассмотрим пример.

Пример 1. Решим уравнение

|х – 1| + |х – 2| = x.

Решение. Выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль при х = 1 и х = 2. Заметим, что такие числа часто называют нулями подмодульных выражений. Они разбивают координатную прямую на промежутки.

В нашем случае первый промежуток включает в себя все точки, лежащие левее А; второй промежуток содержит в себе точки А и В, а также все точки, лежащие между ними; третий промежуток состоит из всех точек, лежащих правее В (рис.7 ).

Заметим, что концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков.

Будем искать решения данного уравнения на каждом из промежутков. Для этого решим три системы:

1) Û . Решений нет.

2) Û Û (x = 1).

3) Û Û (x = 3).

Ответ: 1; 3.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Раскройте знак модуля:

а) |–5|; б) |5|; в) |0|; г) |p|.

2. Как при помощи знака модуля записать, что по крайней мере одно из чисел а, b или с отлично от нуля ?

3. Как при помощи знака равенства записать, что каждое из чисел а, b и с равно нулю ?

4. Найдите значение выражения:

а) |а| – а; б) а + |а|.

9. Существуют ли такие значения переменной х, при которых имеет место равенство:

а) ïх – 5ï + ïх – 6ï = –7;

б) –2ï7 – хï – 3ï1 + хï = 8;

в) ïх – 2ï + ïх² – 4ï = 0 ?

10. Пусть а – любое действительное число. Укажите множество решений уравнения ïхï = а в зависимости от а.

12. При каких значениях х имеет место равенство:

а) ïхï = –х²; в) ïх – 1ï + ïх² – 1ï = 0;

б) ïхï = х²; г) ï5 + ï3 – хïï = 0.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Решите уравнение:

а) |x – 1| + |x – 2| = 3;

б) |x – 2| – 3|3 – x| + x = 0;

в) |x + 5| + |x – 3| + |x – 1| = 0;

г) |x + 2| + 3|1 – x| – 2|6x – 3| = –1;

д) |3 – 2x| – |x + 1| + |2 – x| = |3 – 9x| + x – 5.