40.Возрастание и убывание функции

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Иначе говоря, функция называется возрастающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Иначе говоря, функция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

41.Локальные экстремумы функции одной переменной.

Если для любых Х из 0(х нулевое) справедливо неравенство , то х нулевое называется точкой F(x нулевое)<f(x) локального максимума

Y max(x₀)=y₁, y_min(x₁)=y_2.

Необходимое условие экстермума:

Если в какой-то точке х₀ функция достигает экстремума, то в этой точке производная fштрих (х₀)=0 либо не существует точки,при которой производная превращается в 0 не сущ называется критичными точками или точками возмжного экстремума

Точка, в которой производная=0 называется стационарной

Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума). Пусть х0 – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:

а) Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности U точки х0, не содержащей других критических точек. Тогда: если при переходе через точку х0 производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х0 – точка (локального) максимума функции;

если при переходе через точку х0 производная меняет свой знак с минуса на плюс, х0 – точка (локального) минимума функции;

если при переходе через точку х0 производная не меняет свой знак, в точке х0 нет экстремума.

б) Пусть в точке х0 существует вторая производная функции f, f ''(x0), не равная нулю. Тогда:

если f’’(x0) > 0, х0 – точка (локального) минимума функции;

если f’’(x0) < 0, х0 – точка (локального) максимума функции.

в) Пусть в точке х0 функция дифференцируема n раз, причем

а f(n)(x0) ≠ 0. Тогда:

– если n четно и f(n)(x0) < 0, то х0 – точка (локального) максимума функции;

– если n четно и f(n)(x0) > 0, то х0 – точка (локального) минимума функции;

– если n нечетно, в точке х0 нет экстремума.

42.Выпуклость функции. Точки перегиба

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.