11. метод Гаусса - последовательное исключение неизвестных.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход(система приводится к ступенчатому(треугольному) виду) и обратный ход(идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы).

Таким методом удобно решать в расширенной матрице, выполняя все элементарные преобразования над её строками.

12.Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов a и b.Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.Также сумму можно построить по правилу параллелограмма.

Под разностью векторов a и b понимается вектор c=a-b такой, что b+c=a

Произведение вектора a на скаляр(число)λ называется вектор λ· а, который имеет длину| λ|· |а|, коллинеарен вектору a, имеет направление вектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0.

Свойство произведения: 1) если b=λ·a, то b||a. Наоборот, если b||a, (а≠0), то при некотором λ верно равенство b=λa

2) всегда а=|а|·а^-0, т.е каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими сво-ми:

1.a+b=b+a

2.(a+b)+c=a+(b+c)

3.λ₁ · (λ₂ ·a)=λ₁·λ₂·a

4.(λ₁+λ₂) ·a=λ₁·a+λ₂·a

5.λ·(a+b)=λ·a+λ·b

13.Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

, где

Свойства:

1.Скал-ое произ-ие обладает переместительным св-ом:

2.Скал-ое произ-ие обладает сочетательным св-ом относительно скал-ого множителя:

3.Скал-ое произ-ие обладает распределительным св-ом:

4.Скал-ый квадрат вектора равен квадрату его длины:

5.Если

14.Векторным прои-ем вектора а на вектор b называется вектор c, который:

1)

2)

3) векторы a,b,c образуют правую тройку:

С

А

Св-ва векторного пр-ия:

1.При перестановке сомножителей вект.пр-ие меняет знак, т.е

2.Вект.пр-ие обладает сочетательным св-ом относительно скал.множителя, т.е

3.Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произ-ие равно нулевому вектору, т.е

4.Векторное проз-ие обладает распределит. Св-ом:

15.Смешанным пр-ем называется пр-ие, где первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор:

Cв-ва:

1.Смеш-ое пр-ие не меняется при циклической перестановке его сомножителей

2.Смеш-ое пр-ие не меняется при перемене местами знаков векторного и скал. Умножения, т.е

3.Смеш-ое пр-ие меняет свой знак при перемене мест любых двух-векторов-сомножителей, т.е

4.Смеш-ое пр-ие ненулевых векторов а,b,с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если

16.Прямая на плоскости.Формы записи

Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Ур-ие прямой с угловым коэф-ом:

K=tgα –угловой коэф-т прямой

Общее ур-ие прямой:

Ax+Bx+C=0

Ур-ие прямой, прох-ей через данную точку в данном напр-ии

y - y₀=k(x - x₀)

Ур-ие прямой, проходящей через две точки

Ур-ие прямой в отрезках

Нормальное ур-ие прямой

17.Эллипсом называется множество всех точек плоскости,сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Эллипс имеет овальную форму.

Теорема:Если r –расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d- расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса :

18.Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое ур-ие гиперболы:

Асимптоты гиперболы:

Асимптоты-прямые, к которым приближается прямая

Ур-ие равносторонней гиперболы:

x² - y²=a²

19.Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через

Каноническое ур-ие параболы:

1. Рассмотрим два основных способа задания неупорядоченных множеств:

1.      перечисление всех его элементов;

2.      описание характеристического (общего) свойства его элементов.

3. алгоритмический

4. задание множ-ва при помощи операций над другими мн-вами

 Первым способом задаются конечные множества.

Примеры:

А – множество чисел, являющихся делителями числа 20: А = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Вторым способом можно задать конечные множества, бесконечные, пустые. Множество элементов. Обладающих характеристическим свойством Р, обозначается: {x | P(x)} и читается так: множество всех х таких, что х обладает свойством Р(х).

{x | x  R, 2< x < 5 } – бесконечное несчетное множество, а именно, числовой промежуток (2, 5).

2. Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов

Операции:

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

3. Бином Ньютона

(a+b)ⁿ=C_n⁰∙aⁿ∙b⁰+C_n¹∙a^n-1∙b¹+C_n²∙a^n-2∙b²+….+C_n^m∙a^n-m∙b^m+ C_nⁿ∙a⁰∙bⁿ

Тут же можно сказать про треугольник Паскаля

4. Тригонометр. Форма компл. числа