5. Операции над матрицами

• Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров

• Суммой двух матриц А и B называется матрица С у которой элементы cij=aij+bij Анологично определяется разность матриц

• Произведение матрицы на число называется матрица В у которой элементы bij=k*aij

• Матрица–А=(-1)А называется противоположной матрице А.Разность матриц А-Вможно определить как А-В=А+(-В)

• Операция умножения двух матриц вводится только тогда когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы m*n умножить на n*p равно матрицы m*p.

• Умножение производиться следующим образом элементы iой строки и kго столбца матрицы произведения матрицы С равен сумме произведений элементов iй строки матрицы А на соответствующие элементы kго столбца матрицы В

• Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами:

  1. А+В=В+А

  2. А+(В+С)=(А+В)+С

  3. А+0=А

  4. А-А=0

  5. 1*А=А

  6. k*(A+B)=kA+kB

  7. (k+c)*A=k*A+c*A

  8. k*(c*A)=(k*c)*A

Свойства умножения матриц

1. A*(B*C)=(A*B)*C

2. A*(B+C)=A*B+A*C

3. (A+B)*C=A*C+B*C

6.Вычисление определителей

6.Определитель 2 и 3 порядков.

Определитель-это число, которое записывается в виде квадратной таблицы и вычисляется по определенным правилам.

Свойства определителей второго порядка:

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину

3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.

5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.

Определитель 2 порядка:

Определитель 3 порядка:

6. Определитель равен сумме произведений каждого элемента некоторой строки (или столбца) на его алгебраическое дополнение.

7.Обратная матрица

Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц. Невырожденная-если ее определитель отличен от нуля.

АВ=ВА-Е,где Е- единичная матрица.

Свойства обратной матрицы:

для любого коэффициента .

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их.

8.Ранг матрицы. Способы вычисления.

Ранг матрицы-наивысший порядок миноров,отличных от нуля миноров этой матрицы.

Свойства ранга:

Ранг матрицы не меняется при замене строк столбцами

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, то есть умножениях какого-то ряда на число и сложением с другим рядом.

Методы

Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.