37.Свойства функций, дифференцируемых на отрезке.Теорема Лагранжа
Теорема
(Лагранжа) Пусть функция
дифференцируема на интервале
и непрерывна в точках a
и b
. Тогда найдётся такая точка
, что
Формулу
можно записать в виде
.Если считать, что аргументу a
придано приращение
, то функция получает приращение
.
При этих обозначениях формулу мы можем
записать в виде
в котором участвуют конечные приращения
аргумента и функции. Поэтому формулу
называют формулой конечных приращений
. Доказательство теоремы
Лагранжа. Дадим сначала геометрическую
иллюстрацию теоремы. Соединим конечные
точки графика
на отрезке
хордой. Конечные приращения
и
-- это величины катетов треугольника,
гипотенузой которого служит проведённая
хорда.
38. Свойства функций, дифференцируемых на отрезке.Теорема Коши.
Пусть
функции
и
дифференцируемы на интервале
и непрерывны при
и
,
причём
при всех
.
Тогда в интервале
найдётся такая точка
, что
Доказательство.
Докажем сначала, что
, то есть что дробь в левой части формулы
имеет смысл. Действительно, для этой
разности можно записать формулу конечных
приращений:
при
некотором
.
Но в правой части этой формулы оба
множителя отличны от нуля.
Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию
Функция
, очевидно, является дифференцируемой
при всех
и непрерывной в точках
и
,
поскольку этими свойствами обладают
функции
и
. Кроме того, очевидно, что при
получается
. Покажем, что и
:
Значит,
функция
удовлетворяет на отрезке
условиям теоремы Ролля. Поэтому
существует такая точка
,
что
.
Вычислим теперь производную функции :
Получаем, что
откуда получаем утверждение теоремы:
Замечание
.Можно считать функции
и
координатами движущейся на плоскости
точки, которая описывает линию
, соединяющую начальную точку
с конечной точкой
.
Отношение
,как нетрудно видеть из чертежа, задаёт
тогда угловой коэффициент хорды,
соединяющей точки
и
.
В то же время, по формуле производной
функции, заданной параметрически,
имеем:
.
Значит, дробь
-- это угловой коэффициент касательной
к линии
в некоторой точке
.
Тем самым утверждение теоремы означает,
с геометрической точки зрения, что на
линии
найдётся точка, такая что проведённая
в этой точке касательная параллельна
хорде, соединяющей крайние точки линии.
Но это -- то же самое утверждение, которое
составляло геометрический смысл теоремы
Лагранжа. Только в теореме Лагранжа
линия
была задана явной зависимостью , а в
теореме Коши -- зависимостью
,
заданной в параметрической форме.
39.Правило Лапиталя-Бернули.
Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределённостей.
Теорема.
Если f(x) и g(x) – обе бесконечно малые или
обе бесконечно большие при
т.е. если частное
представляется в точке x=a неопределённость
типа
или
,
то
при
условии, что предел отношения производных
существует. Правило применимо и в
случае, когда a=
.Для
раскрытия неопределённостей типа
будем делать следующие преобразования:
в частное
;
в
произведение
и раскрыть сначала неопределённость
;
если
,
то приводим выражение к виду:
Неопределённости
типов
раскрываются с помощью предварительного
логарифмирования и нахождения предела
логарифма степени
