29. Непрерывность функции в точке.

Пусть ф-ия y = f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки. Ф-ия y = f(x) непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке т.е. lim x->x0 f(x) = f(x0).

Т.к. х-> x0 и x-x0 ->0 одинаковые условия, то предыдущее равенство имеет вид lim x->x0 (f (x) – f (x0) ) = 0 или lim∆x->0 ∆y = 0.

Равенство lim x->x0 f(x) = f(x0) означает выполнение трёх условий:

1. ф-ия f(x) определена в точке x0 и в её окрестности

2. ф-ия f(x) имеет предел при x->x0

3. предел ф-ии в точке x0 равен значению ф-ии в этой точке, т.е. выполняется равенство lim x->x0 f(x) = f(x0).

30. Точки разрыва функции. Их классификации.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если x = x0 – точка разрыва ф-ии y = f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности ф-ии.

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода функции y = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа(односторонние пределы lim x->x0 – 0 f(x) =A1 b lim x->x0 +0 f(x) = A2) При этом, если А1=А2, то точка х0 – точка устранимого разрыва. Если А1 не равно А2, то точка х0 – точка конечного разрыва.

Точка разрыва х0 – точка разрыва второго рода функции y – f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

31. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C.

Î- единичный вектор.

32. Дифференцируемость функций.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.