6.Ранг матрицы. Преобразования матрицы, не меняющие ее ранга.

Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n-го порядка, определитель которой Δk называется минором k–го порядка матрицы A.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы [rang A=r(A)]. Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований.

Преобразования

1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей

2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0;

3)изменение порядка строк или столбцов матрицы;

4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0;

5) транспонирование матрицы. 

Теорема о ранге матрицы. Ранг м-цы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

7.Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия. Матричный вид системы линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Cистема линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:AX = B.Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной. (A/B)

След. Преобразования над слу не приводят к изменениям его корней:

1. Изменение порядка уравнений в системе

2. Умножение уравнения на ненулевое число

3. + и – из одной строки другой

4. + и – из одной строки другой умноженной на ненулевое число