45.Непрерывность функции на отрезке.
И в заключение рассмотрим свойства функций, непрерывных на отрезке.
Теорема
Больцано-Коши
об обращении функции в нуль. Пусть
функция
определена
и непрерывна на отрезке [a,
b]
и на концах этого отрезка принимает
значения различных знаков, то есть
Тогда
существует точка
такая,
что
Проиллюстрируем теорему:
Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль.
Вторая
теорема Больцано-Коши
о промежуточном значении функции. Пусть
функция
определена
и непрерывна на отрезке [a,
b]
и на концах этого отрезка принимает
неравные значения
.
Тогда, каково бы ни было число
между
числами
,
найдется точка
в
интервале
такая,
что
.
Теорема
1
Вейерштрасса.
Если функция
определена
и непрерывна на отрезке [a,b],
то она на этом отрезке ограничена, то
есть существуют числа m
и М такие, что m
М
для любого
.
Теорема
2
Вейерштрасса.
Если функция
определена
и непрерывна на отрезке [a,b],
то она достигает на этом отрезке своих
наименьшего и наибольшего значений
(то есть существуют такие
на
отрезке [a,b],
что для любого
46.Классификация точек разрыва.
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Такая
точка называется точкой
конечного разрыва.
Модуль разности значений односторонних
пределов
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. |
|||||||||||||||
Пример |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Исследовать
функцию
Решение. Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода. |
|||||||||||||||
и
правосторонний предел
;
Левосторонний
предел и правосторонний предел не
равны друг другу:
называется
скачком
функции.
на
непрерывность.
