17. Однородные системы уравнений.

Система линейных уравнений наз. однородной, если все ее свободные члены =0. Имеет вид:

Т.к. расшир. матрица однородной системы отличается от основной только наличием дополнит-го нулевого столбца, то все не миноры расшир. матрицы содерж-ся в основной матр. Поэтому ранги основной и расширенной матрицы однородной системы всегда совпадают => однородная система всегда совместна. Отметим также, что любая однородная система имеет решения: х₁=0, х₂=0, …, х_n=0. Такое решение наз-ся нулевым, или тривиальным. Кроме этого, решенная однородная система может иметь другие, нетривиальные решения. На основании вышеизложенного можно заключить, что если у однор. системы ранг матрицы равен числу неизвестных, то эта система имеет единственное тривиальное решение. Чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных. В частности, однородная система из n уравнений относительно n неизв. имеет единственное тривиальное решение, когда её определитель отличен от нуля. Условием наличия нетривиальных решений у такой системы явл-ся равенство нулю ее определителя.

19. Линейные операции над векторами

Суммой векторов наз-ся вектор , проведенный из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор своим началом приложен к концу вектора .

Cв-ва:

1.

2.

3. Существует единственный нулевой вектор, такой, что для любого вектора выполняется равенство:

Нулевой вектор- это вектор, у которого начало и конец совпадают.

4. Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что .

Сумма произвольного конечного числа векторов может быть найдена по правилу замыкания ломаной.

Разностью векторов наз-ся вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Произведение вектора на число α, или числа α на , наз-ся вектор , имеющий длину равную произведению , коллинеарный вектору , направленный одинаково с вектором , если α>0, и противоположно вектору , если α<0.

Свойства:

1.

2.

3.

Теорема. Вектора коллинеарные тогда и только тогда, когда существует число λ такое, что вектор .

λ>0 – одинаково направленные

λ<0 – противоположно направленные.

20. Линейнонезависимые системы векторов.

Векторы наз-ся линейно зависимыми, если существуют числа среди которых хотя бы одно отлично от 0, то вып-ся равенство: (1).

Векторы наз-ся линейно независимыми, если равенство (1) вып-ся только если .

Заметим, что если хотя бы один из данных векторов не яв-ся нулевым, то эти векторы линейно зависимы.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов яв-ся их коллинеарность. Док-во:

1. Докажем необходимость. Пусть векторы линейно зависимы, то есть справедливо равенство , где хотя бы одно из чисел, например, ≠0. Тогда имеем: , откуда следует, что эти векторы коллинеарны.

2. Достаточность. Пусть коллинеарны, тогда, согласно теореме из предыдущего параграфа, .

. Причем, коэффициент перед вектором а₁ отличен от нуля. Тогда, согласно определению, эти векторы линейно зависимы. Очевидно, что если 2 вектора не коллинеарны , то они линейно независимые.

Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

Определение. 3 вектора наз-ся компланарными, если они лежат в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3 векторов яв-ся их компланарность.

Теорема. Любые 4 вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы. Следствие. Каковы бы ни были 3 некомпланарных вектора , любой вектор пространства может быть представлен в виде αa+βb+γc=d, где α, β, γ – некоторые числа

18. Векторы в трехмерном пространстве.

В ектором наз-ся направленный отрезок (Вектор приложен к точке А). Для обозначения длины вектора исп-ют символ І І (ІАВІ).

Вектор наз-ся нулевым, если его начало и конец совпадают.

Векторы наз-ся коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора наз-ся равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

a≠b a≠b a=b