13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.

Линейной системой уравнений наз-ся система вида:

(1)

Матрица, составленная из коэффициентов системы, наз-ся основной матрицей системы. Матрица вида:

А̃= называется расширенной матрицей системы.

Вводят столбцы:

Используя введённые обозначения, линейную систему (1) можно записать в т. н. матричном виде: A∙X=H (2)

Матричное равенство (2) равносильно системе (1) согласно правилам умножения матриц.

Упорядоченное множество чисел С₁, С₂, …, С_n наз-ся решением системы (1), если после подстановки этих чисел уравнение системы вместо неизвестных х₁, х₂, …, х_n каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.

Столбец решений:

Если линейная система ур-ий имеет одно единственное решение, эта система наз-ся определенной.

Если система имеет не одно решение, то неопределенной.

Если не имеет решений, то наз. несовместной.

Если имеет хотя бы одно решение, то совместной.

Две системы, имеющие одинак. множ-ва решений (т. е. когда каждое решение одной из них является решением другой), наз. равносильными, или эквивалентными. => 2 несовместные системы эквивалентны.

Элементарные преобразования над системой:

1) умножение любого ур-я на любое число, отличное от 0.

2) прибавление к обеим частям одного из ур-й системы обеих частей другого ур-ния, умноженных на любое число.

3) перемена мест ур-й системы.

Очевидно, что элементарные преобразования над системой соответствуют элементарным преобразованиям над строками её расширенной матрицы.

Очевидно, что в результате элементарных преобразований над системой получается система, равносильная исходной.

14. Формулы Крамера

Рассмотрим линейную систему из n уравнений относительно n неизвестных:

(3)

Основная матрица этой системы будет квадратной.

Ее определитель наз. определителем системы.

Систему можно записать в матричном виде: A∙X=H (4). Если определитель ∆=detA≠0, то система наз-ся невырожденной. В этом случае основная матрица системы имеет обратную А^-1, кот. может быть найдена по формуле:

Умножим обе части матричного равенства (4) слева на матрицу А^-1; получим А^-1АХ= А^-1Н, учитывая, что А^-1А=Е, ЕХ= А^-1Н, а т. к. ЕХ=Х, то имеем Х= А^-1Н (5).

Это равенство даст решение системы (3) в матричной форме.

Перепишем равенство (5) в развернутом виде

Отсюда, по правилу умножения матриц, имеем , где (j=1,2, …,n).

В скобках правой части стоит сумма произведения чисел h₁,h₂,…,h_n на алгебраические дополнения j-столбца матрицы А.

Согласно теореме замещения, это выражение = определителю кот. получается из определителя ∆ заменой в нем j-того столбца на столбец из свободных членов

(6)

Эти формулы наз-ся формулами Крамера, где ∆-определитель системы, ∆j-определитель, который получается из определителя системы заменой в нем j-того столбца на столбец из свободных членов.

Таким образом, мы показали, что любая невырожденная система из n уравнений относительно n неизвестных имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера.