9. Миноры и алгебраические дополнения.
Пусть дана матрица размерности m*n, m-строк и n-столбцов. Выберем в этой м-це s-строк и s-столбцов. Элементы данной м-цы, лежащие на пересечении выбранных s-строк и s-столбцов образуют квадратную м-цу порядка s. Определитель этой м-цы называется минором исходной м-цы порядка s.
Пусть дана квадратная м-ца А порядка n. Её минор М′, полученный вычёркиванием из неё выбранных s строк и s столбцов называется дополнительным минором по отношению к минору М, составленному из элементов, лежащих на пересечении выбранных s строк и s столбцов. Рассмотрим матрицу 5 порядка.
Эл-ты, лежащие на пересечении выбранных 2 строк и 2столбцов образуют минор 2го порядка.
Элементы матрицы А, остающиеся после вычёркивания выбранных строк и столбцов, тоже образуют минор.
Этот минор называется дополнительным по отношению к минору М. Миноры квадратной м-цы называют также минорами её определителя. Алгебраическим дополнением минора М м-цы А называется дополнительный ему минор, умноженный на (-1)δ,где δ-это сумма номеров строк и столбцов м-цы А, вошедших в минор М. Алгебраическое дополнение минора М – AМ.
AМ = (-1)3+4+1+3M'
Каждый элемент квадратной м-цы n-го порядка является её минором 1го порядка. Дополнительный
ему минор M' будет иметь порядок М-1. Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы А будет величина Aij=(-1)i+jМ′i+j. М′ - определитель м-цы, который получается из м-цы А вычёркиванием из неё i-той строки и j-го столбца.
11. Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство:
А-1∙А=А∙А-1=Е, где Е – единичная матрица.
Очевидно, что произведение в этом равенстве будут существовать, только если матрицы А и А-1 – квадратные, одинакового порядка, поэтому понятие обратной матрицы применимо только к квадр. матрицам.
Если определитель квадр. матрицы = 0, то эта матрица называется вырожденной, или особенной, если её опр-ль не = 0 - то невырожденной, или неособенной.
Теорема. Любая невырожденная матрица
имеет единственную обратную матрицу, которая может быть найдена по формуле:
(2)
Док-во. По правилу умножения матриц имеем:
Мы использовали теорему о разложении определителя по элементам ряда и аннулирования. Аналогично можно показать, что матрица (2) является единственной обратной матрицей для матрицы А.
12. Ранг матрицы.
Рангом матрицы называется наибольший порядок её миноров, отличных от нуля.
Миноры 3 порядка этой матрицы = 0, т. к. они содержат нулевой столбец.
rA≤2. Все миноры 2 порядка будут содержать либо нулевой столбец, либо 2 пропорциональных столбца, и => тоже все = 0.
rA=1. Т. к. у этой матрицы есть миноры первого порядка, отличные от 0, то её ранг = 1.
Элементарные преобразования матрицы:
1. умножение любого ряда матрицы на число, отличное от нуля.
2. прибавление к элемента одного ряда матрицы элементов другого её параллельного ряда, умноженных на некоторое число.
3. перемена мест любых 2-х рядов матрицы.
Теорема. Ранг матрицы, полученной из данной путём элементарных преобразований, равен рангу данной матрицы.
Метод окаймляющих миноров нахождения рангов матрицы.
Пусть М – минор порядка k матріцы А. Окаймляющим его минором называется минор порядка k+1 этой матрицы, содержащий внутри себя минор М.
Теорема. Если матрица А имеет минор М порядка k, отличный от нуля, и все миноры, окаймляющие этот минор М, равны нулю, то ранг матрицы А=k.
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга состоит в следующем: находят минор данной матрицы, отличный от 0 (1 или 2 порядка), затем вычисляют все окаймляющие миноры. Если они все = 0, то ранг матрицы = порядку этого ненулевого минора. Если среди окаймляющих находится один, отличный от нуля, то далее вычисляют все миноры, окаймляющие данный минор, у которых все окаймляющие миноры = 0. Ранг матрицы будет = порядку этого ненулевого минора.