
- •1. Матрицы. Основные определения.
- •2. Линейные операции над матрицами и их свойства.
- •3. Умножение матриц. Свойства.
- •4. Транспонирование матриц. Свойства.
- •5. Перестановки.
- •6. Понятие определителя.
- •7. Частные случаи определителей.
- •10. Теоремы о разложениях определителя
- •8. Свойства определителей.
- •9. Миноры и алгебраические дополнения.
- •11. Обратная матрица
- •12. Ранг матрицы.
- •13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.
- •14. Формулы Крамера
- •15. Метод Гаусса
- •16. Решение произвольных систем уравнений
- •17. Однородные системы уравнений.
- •19. Линейные операции над векторами
- •20. Линейнонезависимые системы векторов.
- •22. Декартова прямоугольная система координат.
- •21. Понятие базиса. Координаты.
- •23. Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.
- •24. Выражение для скалярного произведения в декартовых координатах.
- •25. Векторное произведение. Его свойства.
- •26. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах.
- •27. Смешанное произведение трёх векторов. Его свойства и выражение в декартовых координатах.
- •28. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •29. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.
- •30. Нормальное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •31. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.
- •32. Канонические уравнения прямой.
- •33. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
- •34. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •35. Эллипс.
- •36. Гипербола
- •38. Действительные числа, переменные велечины
- •37. Поверхности второго порядка.
- •39. Предел переменной величины.
- •41. Бесконечно малые и бесконечно большие.Теоремы.
- •42.Основные теоремы о пределах
- •43. Первый замечательный предел
- •44. Второй замечательный предел
- •45. Непрерывность ф-ции
- •46. Классификация точек разрыв
- •47. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •48. Некот свойсва непрерывной ф-ции
- •53. Производная сложной ф-ции.
- •49. Сравнение бесконечно малых
- •50.Производная.
- •51. Геометрический смысл производной
- •52. Основные правила дифференцирования.
- •54. Обратная функция и её дифференцирование.
- •55.Обратные тригонометрические функции и их производные
- •57. Гиперболические ф-ции
- •56. Производные функций от lnx и ex
30. Нормальное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
Положение
плоскости
в пространстве полностью определяется
расстоянием от пл-ти (р) до начала
координат и единичным вектором
плоскости.
Возьмем
произвольную точку М(x,y,z),
принадлежащую
плоскости. Вектор
М0М=r-r0
лежит в этой плоскости и =>
вектору
=>
проекция вектора
на вектор
.
Т.
к. вектор
,
то можем записать
.
(3)
– это норм уравнение плоскости в
векторной форме.
У
,
а
,
где
-
углы, кот. он образует с коорд. осями Ох,
Oy,
Oz.
Получаем:
(4). - норм ур-е пл-ти в коорд. форме.
Аналогично можно вывести норм. ур-е прямой на пл-ти:
Норм
ур-е прямой в векторной форме будет
иметь вид, в точности совпадающий с
уравнением (3). Отличия только в том, что
входящие в него векторы будут иметь по
2 координаты. Поэтому, расписывая
скалярное произведение, имеем норм ур-е
прямой в коорд пл-ти:
31. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.
Положение
прямой в пространстве полностью опр-ся
некоторой точкой M0(x0,y0,z0),
принадлежащей прямой и вектором
,
параллельным
прямой.
Пусть
M(x,y,z)
произвольная точка прямой. Проведём
.
Тогда вектор
,
лежащий на прямой, параллельной
направляющему вектору
(5)
- параметрическое ур-е прямой в
пространстве. Число t
- параметр. При изменении параметра t
от -∞
до +∞
переменная точка, определяемая концом
радиус-вектора
,
пробегает положение всех точек прямой.
Предположим,
что направляющий вектор имеет координаты
,
тогда учитывая, что
,
из уравнения (5) получаем три уравнения,
связывающих соответствующие координаты
этих векторов. Параметрическое уравнение
прямой в пр-ве в коорд форме: (6)
Аналогично можно получить векторную форму параметрического уравнения прямой на плоскости, которая будет совпадать с уравнением (5):
(7).
Входящие сюда векторы имеют по 2 координаты r={x,y}, r0={x0,y0}, S={m,n}. Поэтому в координатной форме получаем 2 параметрических уравнения прямой на плоскости (8):
32. Канонические уравнения прямой.
Исключим
параметр t из параметрических уравнений
(6)
Выражая
t
из каждого ур-я, мы имеем
Приравнивая
правые части этих равенств получим
каноническое уравнение прямой в
пространстве
(9).
Аналогично,
исключая параметр t из системы (8)
,
получим каноническое уравнение прямой
на плоскости:
Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.
Положение прямой в пространстве полностью определяется 2 точками М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2), принадлежащими прямой.
Выбираем
в канонич. ур-ях (9) за направляющий вектор
и за фиксированную точку прямой – точку
М1(x1,y1,z1).
(11)
Аналогично из канонического уравнения прямой на пл-ти получаем ур-е прямой на пл-ти, проходящей через 2 заданные точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2). Оно будет иметь вид (12):
33. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
Каноническое
уравнение прямой на плоскости
можно
переписать в виде
или
или
y=kx+b
(13), где
Выясним геометр. смысл параметров k и b, входящих в ур-ние y=kx+b
m
и n
= проекциям на координатные оси
Отсюда вывод, что коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой положительного направления к оси Ох. Он называется угловым коэффициентом прямой. Чтобы выяснить геометр. смысл параметра b найдём ординату точки пересечения прямой с осью Оу. Для этого предположим в ур-ние y=kx+b, что х=0. Тогда получим у=b. Параметр b - ордината точки пересечения прямой с Оу.