8. Условные вероятности. Теорема умножения вероятности, независимые события. Попарная независимость и независимость в совокупности.

Условная вероятность

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло или нет другое событие. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то искомая вероятность будет одна. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что произошло два других события , используется условная вероятность относительно произведения событий

.

Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). (2.2)

Доказательство. Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и равна

.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на . Получим

.

Аналогично доказывается и формула

.

Пример. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

P(A) = 5/35 = 1/7.

Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношения

Искомая вероятность будет

.

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий

P(AB) = P(A)×P(B). (2.3)

Теорема умножения вероятностей легко обобщается на любое конечное число событий.

Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, т.е.

P(ABC....LM) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) P(M/AB...L). (2.4)

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

Случайные величины называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств , ...,  имеет место равенство:

Случайные величины называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.