- •1. Случайный эксперимент. Пространство исходов. Случайное событие.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности (из определения). Недостатки определения.
- •3. Основные формулы комбинаторики.
- •4. Геометрическое определение вероятности. Его недостатки. Задача Бюффона. Задача о встрече.
- •5. Частота события. Статистическое определение вероятности. Понятие устойчивости и законе больших чисел. Недостатки определения.
- •6. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности из аксиоматического определения.
- •8. Условные вероятности. Теорема умножения вероятности, независимые события. Попарная независимость и независимость в совокупности.
- •9. Вероятность наступления хотя бы одного события.
- •10. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •11. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •12. Приближенные формулы для формулы Бернулли: локальная и интегральная формула Муавра-Лапласса. Формула Пуассона.
- •13. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности. Закон больших чисел в формуле Бернулли.
- •14. Случайные величины: дискретные и непрерывные
- •15. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник (полигон) распределения.
- •16. Неперывная случайная величина. Функция распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее свойства.
- •17. Числовые характеристики случайных величин и их свойства.
- •19. Правило трех сигм
- •22. Эмпирическая функция распределения: полигон и гистограмма.
- •23. Числовые характеристики выборки.
- •28. Коэффициент корреляции. Его основные свойства и статистический смысл.
- •29. Задачи регрессионного анализа. Линейная регрессия.
19. Правило трех сигм
В теории вероятностей квадратичное отклонение σx случайной величины x (от ее математического ожидания) определяется как квадратный корень из дисперсии Dx и называют также стандартным отклонением величины x. Для любой случайной величины x с математическим ожиданием mx и квадратичным отклонением σx вероятность отклонения x от mx, больших по абсолютной величине k·σx, k > 0, не превосходит 1/k2 (неравенство Чебышева). В случае нормального распределения указанная вероятность при k = 3 равна 0.0027. В практических задачах, приводящих к нормальному распределению, чаще всего пренебрегают возможностью отклонения от среднего, большего 3·σx.
21. Элементы выборочной статистики: генеральная и выборочная совокупности Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, для партии деталей качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным — контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяется сравнительно редко. Например, если совокупность содержит большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то случайным образом отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.
Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых проводится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.
Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда для упрощения вычислений или для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.
22. Эмпирическая функция распределения: полигон и гистограмма.
Графически статистический ряд отображают в виде гистограммы, полигона и ступенчатой линии. Часто гистограмму представляют как фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною h, а высоты равны соответствующей частости. Однако такой подход неточен. Высоту i-го прямоугольника zi следует выбрать равной ni/(nh). Такую гистограмму можно интерпретировать как графическое представление эмпирической функции плотности распределения fn(x), в ней суммарная площадь всех прямоугольников составит единицу. Гистограмма помогает подобрать вид теоретической функции распределения для аппроксимации ЭД.
Полигоном называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами по оси абсцисс, равными серединам интервалов, а по оси ординат – соответствующим частостям. Эмпирическая функция распределения отображается ступенчатой ломаной линией: над каждым интервалом проводится отрезок горизонтальной линии на высоте, пропорциональной накопленной частости в текущем интервале. Накопленная частость равна сумме всех частостей, начиная с первого и до данного интервала включительно
Рис.2..2. Гистограмма распределения |
|
Рис. 2.3. Эмпирическая функция расп. |