4.9. Равновесное излучение.
4.9.1. Теория излучения Планка. Принципиально новым в развитии статистической термодинамики было применение ее методов к исследованию полей излучения нагретых тел. Это не только расширило класс изучаемых систем, но и привела к революционным последствиям – квантовой гипотезе Планка. Электромагнитная теория Максвелла и второе начало термодинамики явились основой развития современной теории теплового излучения.
Под тепловым излучением понимается электромагнитное поле излучения, испускаемое нагретым телом. Его интенсивность и зависимость от частоты (спектрального состава излучения) определяются температурой и природой нагретого тела. Имеется, однако, случай, когда спектральный состав излучения не зависит от природы излучателя. Речь идет о равновесном излучении, которое моделируется излучением абсолютно черным телом. Абсолютно черным называется тело, которое поглощает полностью весь падающий поток энергии независимо от частоты (спектрального состава) и от температуры тела; его коэффициент поглощения равен единице при любых частотах и температурах. Ни один из известных в природе материалов не обладает абсолютным поглощением. Искусственным путем максимальное приближение абсолютно черного тела лучше всего воспроизводится малым отверстием в стенке большой замкнутой полости (рис. 4.9, а) при условии, что стенка во всех точках имеет одну и ту же температуру, не проводит тепло, не пропускает падающего на нее потока излучения и поглощает не очень малую его часть (не менее 0.1). Практически каждый непрозрачный материал удовлетворяет поставленным требованиям в широкой области инфракрасных, видимых и ультрафиолетовых лучей. Излучение, проникающее через отверстие, претерпевает многократные отражения и почти полностью поглощается. Определенным приближением излучения абсолютно черного тела может служить излучение из малого отверстия в большой замкнутой
а) б)
Рис. 4.9
полости с зеркальными
внутренними стенками (Рис. 4.9, б).
Если стенки поддерживать при постоянной
температуре, то излучение внутри полости
будет находится в равновесии со стенками.
Электромагнитное излучение, возникающее
в такой полости, образует систему стоячих
волн, которая формально ничем не
отличается от рассмотренной ранее
системы упругих волн в сплошной среде
с отражающими границами. Эта система
имеет такую же энергию, как система
независимых гармонических осцилляторов.
Каждому нормальному колебанию в системе
соответствует осциллятор с частотой
и энергией
,
которая зависит от его состояния. Для
определения плотности энергии излучения
интерес представляет средняя энергия
осциллятора
,
усредненная по всем возможным состояниям.
Плотность энергии стоячих волн в
интервале частот между
и
равна суммарной средней энергии всех
осцилляторов, заменяющих нормальные
колебания в том же частотном диапазоне.
Если
– число таких осцилляторов, то плотность
энергии равновесного излучения
, (4.50)
здесь
– спектральная плотность излучения.
Электромагнитный аналог формулы (4.24)
определяет число осцилляторов в виде
, (4.51)
где вместо скорости звука стоит скорость электромагнитной волны и учтено, что электромагнитное поле имеет две поляризации.
Вывод этих формул
был сделан без привлечения представлений
квантовой теории. Согласно теореме о
равнораспределении средней энергии по
степеням свободы,
и плотность равновесного излучения
равна (закон Рэлея-Джинса)
. (4.52)
Если определить
плотность излучения во всем частотном
диапазоне, то бессмысленность этой
формулы становится очевидной. Так, при
|
Рис. 4.10 |
.
Отсюда
следует, что источники излучения,
заключенные в полости должны были бы
излучать до тех пор, пока вся заключенная
в них тепловая энергия не перешла бы в
поле излучения и их температура упала
бы до абсолютного нуля. Сравнение с
экспериментом дало хорошее совпадение
только в низкочастотном диапазоне (
),
в высокочастотном наблюдается абсолютное
несоответствие теории (разный характер
зависимости!!) (рис. 4.10). Исторически это
был первый случай полной непригодности
классических представлений. Вопиющее
противоречие с опытом побудило
современников назвать создавшееся
положение «ультрафиолетовой катастрофой».
С учетом квантования
среднее значение энергии осциллятора
равно
.
Подстановка в (4.50) приводит к формуле
Планка
. (4.53)
В двух предельных
случаях формула упрощается. При низких
частотах (
)
она совпадает с законом Рэлея-Джинса.
В высокочастотном диапазоне (
)
. (4.54)
Формула носит название закона Вина. Переход от к спектральному распределению плотности по длинам волн дает
. (4.55)
Отсюда нетрудно
определить длину волны
,
при которой наблюдается максимальное
излучение. Из условия
следует
,
или в обозначениях
.
Решение этого трансцендентного уравнения дает закон смещения Вина
. (4.56)
Максимум спектральной
плотности равновесного излучения
смещается в сторону высоких частот
(малых длин волн) с ростом температуры.
Закон смещения Вина позволяет определить
значение квантовой постоянной
.
4.9.2. Термодинамические потенциалы и параметры равновесного излучения. Формула Планка позволяет вычислить термодинамические потенциалы и параметры черного излучения. Интегрирование (5.53) по всем частотам определяет плотность энергии
, (4.57)
где
– содержит только универсальные
константы. Температурная зависимость
плотности энергии излучения
(закон Стефана-Больцмана) широко
применяется в технике для расчета
излучающей способности нагретых
поверхностей, а также для дистанционного
измерения температуры сильно нагретых
тел (>2000°К). Внутренняя
и свободная
энергии излучения в объеме
равны
;
. (4.58)
Используя эти
выражения, можно найти теплоемкость
,
энтропию (
)
и давление (
)
черного излучения
(4.59)
Давление излучения,
весьма малое в земных условиях, приобретает
чрезвычайно важное значение в астрофизике.
Оно быстро увеличивается с ростом
температуры. При весьма высоких
температурах астрофизических тел,
световое давление оказывается большим,
чем газовое. К особенностям поля излучения
относится значение
,
которое следует из
,
так как
.
Уравнение адиабаты (
)
имеет вид
,
.
Простое вычисление показывает, что
потенциал Гиббса равен нулю
,
что согласуется
с условием
для фотонного газа.
С корпускулярной
точки зрения, поля равновесного излучения
можно представить в виде газа фотонов
внутри полости следующим образом. В
диапазоне частот от
до
(или энергии от
до
)
имеется
квантовых состояний фотонов, среднее
число фотонов в каждом состоянии (функция
распределения) равно
.
Тогда среднее число фотонов с энергией
между
и
есть
.
Множитель 2 учитывает двукратное вырождение состояний фотонов (две поляризации света). Поскольку спин у фотона равен единице, то – суть функция распределения Бозе-Эйнштейна с равным нулю парциальным потенциалом ( ), т.е.
. (4.60)
Нетрудно заметить,
что выражение для энергии излучения
совпадает с формулой Планка (4.53). Здесь
использовано равенство
.
Полное число фотонов равновесного
излучения в объеме
(4.61)
пропорционально кубу температуры.