- •1. Основные положения статистической термодинамики
- •1.1. Понятия и начала феноменологической термодинамики.
- •1.2. Микроскопическое (механическое) описание классических систем.
- •1.3. Особенности представления квантовых систем
- •1.4. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства. Метод ансамблей Гиббса.
- •1.5. Макроскопические величины как фазовые средние
- •1.6. Распределение в системах с постоянным числом частиц
- •1.6.2. Распределения Гиббса.
- •1.6.3. Квазиклассическое приближение.
- •1.7. Свойства распределения Гиббса
- •1.8. Большое каноническое распределение Гиббса
- •2. Статистика идеального газа
- •2.1. Идеальный газ как модель статистической системы
- •2.2. Распределение Максвелла
- •2.3. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление
- •2.4. Характерные величины идеального газа
- •2.5. Столкновение молекул между собой
- •2.6. Длина свободного пробега
- •2.7. Идеальный газ во внешнем поле
- •2.8. Число и функция состояний идеального газа
- •2.9. Классическая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.10. Квантовая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.11. Распределения в квантовых системах
- •3. Законы термодинамики
- •3.1. Статистическое обоснование первого начала термодинамики
- •3.2. Второе начало термодинамики
- •3.3. Вечный двигатель второго рода. Максимальная работа процессов
- •3.4. Полезная работа тепловых машин
- •3.5. Метод термодинамических потенциалов
- •3.6. Термодинамические коэффициенты. Критерии устойчивости равновесия
- •3.7. Статистическое вычисление термодинамических величин
- •3.8. Третье начало термодинамики (теорема Нернста)
- •3.9. Применения термодинамики
- •4. Статистика сложных систем.
- •4.1. Модель кристаллического твердого тела. Уравнение движения атомов
- •4.2. Дисперсионное уравнение нормальных колебаний кристалла
- •4.3. Кристалл как система линейных гармонических осцилляторов
- •4.4. Статистическая сумма и энергия кристалла (в гармоническом приближении)
- •4.5. Теория теплоемкости Дебая
- •4.6. Электронный газ в металлах
- •4.7. Зависимость энергии электрона от волнового вектора. Эффективная масса
- •4.8. Теория парамагнетизма. Природа и характеристики магнетизма.
- •4.9. Равновесное излучение.
- •4.10. Системы с кулоновским взаимодействием частиц.
- •5. Теория малых флуктуаций
- •5.1. Определение и значение флуктуаций
- •5.2. Мера вероятности и масштаб флуктуаций
- •5.3. Флуктуации термодинамических величин в однородной среде
- •5.4. Предельная чувствительность измерительных приборов
- •5.5. Рассеяния света флуктуациями
- •6. Элементы теории физической кинетики
- •6.1. Определения и характеристики необратимых процессов
- •6.2. Теория стационарных процессов в газе свободных электронов
- •6.3. Газокинетическое уравнение Больцмана
- •6.4. Приближение времени релаксации
- •Раздел 2
- •Раздел 2
- •Раздел 3
- •Раздел 4
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Список Литературы
2.5. Столкновение молекул между собой
Выделим две молекулы идеального газа с массами и и скоростями и . Вопрос о столкновении этих молекул связан с характером их относительного движения. В механике показывается, что движение двух частиц можно всегда разложить на движение в пространстве общего центра тяжести и их относительное движение. Из определения скоростей относительного и абсолютного (центра тяжести двух молекул) движения, а именно:
Находим зависимость и кинетическую энергию
(2.17)
где – приведенная масса. Первое слагаемое определяет энергию движения центра тяжести, а второе – энергию относительного движения. Относительное движение происходит так, как если бы одна из молекул была неподвижна, а вторая имела массу, равную приведенной .
Вероятность того, что одна молекула имеет скорость , а вторая – , равна произведению вероятностей простых событий, т.е.
Перейдем в фазовом пространстве от переменных к переменным :
,
где учтено, что модуль якобиана преобразования равен . Искомая вероятность распадается на произведение и
(2.18)
Для упрощения считаем, что газ состоит из одинаковых молекул, . Используя указанное распределение, найдем среднюю скорость относительного движения
, (2.19)
которая оказывается в раза больше средней скорости теплового движения молекул газа.
В дальнейшем предполагаем, что газ настолько разрежен, что молекулы сталкиваются попарно, а числом столкновений, при котором одновременно приходят в непосредственный контакт три и более молекул будем пренебрегать. Соударение двух молекул – сложный процесс, зависящий от природы и характера их взаимодействия. Если молекулы рассматривать как твердые шарики радиуса , взаимодействующие только при непосредственном контакте, то для соударения центры молекул должны были бы сблизиться на расстояние . Иными словами, соударения происходят в том случае, когда центры сталкивающихся молекул лежат в круге площадью . Эту площадь называют геометрическим сечением соударения. В реальных газах молекулы начинают взаимодействовать еще до непосредственного контакта, на расстояниях . Это расстояние называют эффективным диаметром столкновения, а площадь круга – эффективным сечением соударения. При сильном взаимодействии между молекулами, эффективное соударение может, во-первых, существенно превышать геометрическое, во-вторых, зависеть от ряда факторов и прежде всего от относительной скорости сближающихся частиц. Будем считать, что все молекулы газа неподвижны, кроме одной, которая двигается со скоростью . Она проходит в единицу времени путь , вырезая в пространстве цилиндр объемом (рис. 2.5). При этом она испытывает столкновения со всеми неподвижными молекулами, находящимися в этом цилиндре. Их количество и определяет число соударений:
|
, где – общая плотность молекул газа. Полное число соударений, испытываемых молекулой в единицу времени, вычисляется путем интегрирования этого выражения по всем возможным значениям :
|
Рис. 2.5. |
Если сечение не зависит от относительной скорости, то с учетом (2.18) и (2.19) имеем
, (2.20)
. (2.21)
Это и есть число столкновений, испытываемое молекулой в 1 сек. Оно растет с увеличением температуры, плотности газа, размерами молекул и уменьшением их массы.