![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Основные положения статистической термодинамики
- •1.1. Понятия и начала феноменологической термодинамики.
- •1.2. Микроскопическое (механическое) описание классических систем.
- •1.3. Особенности представления квантовых систем
- •1.4. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства. Метод ансамблей Гиббса.
- •1.5. Макроскопические величины как фазовые средние
- •1.6. Распределение в системах с постоянным числом частиц
- •1.6.2. Распределения Гиббса.
- •1.6.3. Квазиклассическое приближение.
- •1.7. Свойства распределения Гиббса
- •1.8. Большое каноническое распределение Гиббса
- •2. Статистика идеального газа
- •2.1. Идеальный газ как модель статистической системы
- •2.2. Распределение Максвелла
- •2.3. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление
- •2.4. Характерные величины идеального газа
- •2.5. Столкновение молекул между собой
- •2.6. Длина свободного пробега
- •2.7. Идеальный газ во внешнем поле
- •2.8. Число и функция состояний идеального газа
- •2.9. Классическая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.10. Квантовая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.11. Распределения в квантовых системах
- •3. Законы термодинамики
- •3.1. Статистическое обоснование первого начала термодинамики
- •3.2. Второе начало термодинамики
- •3.3. Вечный двигатель второго рода. Максимальная работа процессов
- •3.4. Полезная работа тепловых машин
- •3.5. Метод термодинамических потенциалов
- •3.6. Термодинамические коэффициенты. Критерии устойчивости равновесия
- •3.7. Статистическое вычисление термодинамических величин
- •3.8. Третье начало термодинамики (теорема Нернста)
- •3.9. Применения термодинамики
- •4. Статистика сложных систем.
- •4.1. Модель кристаллического твердого тела. Уравнение движения атомов
- •4.2. Дисперсионное уравнение нормальных колебаний кристалла
- •4.3. Кристалл как система линейных гармонических осцилляторов
- •4.4. Статистическая сумма и энергия кристалла (в гармоническом приближении)
- •4.5. Теория теплоемкости Дебая
- •4.6. Электронный газ в металлах
- •4.7. Зависимость энергии электрона от волнового вектора. Эффективная масса
- •4.8. Теория парамагнетизма. Природа и характеристики магнетизма.
- •4.9. Равновесное излучение.
- •4.10. Системы с кулоновским взаимодействием частиц.
- •5. Теория малых флуктуаций
- •5.1. Определение и значение флуктуаций
- •5.2. Мера вероятности и масштаб флуктуаций
- •5.3. Флуктуации термодинамических величин в однородной среде
- •5.4. Предельная чувствительность измерительных приборов
- •5.5. Рассеяния света флуктуациями
- •6. Элементы теории физической кинетики
- •6.1. Определения и характеристики необратимых процессов
- •6.2. Теория стационарных процессов в газе свободных электронов
- •6.3. Газокинетическое уравнение Больцмана
- •6.4. Приближение времени релаксации
- •Раздел 2
- •Раздел 2
- •Раздел 3
- •Раздел 4
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Список Литературы
2.8. Число и функция состояний идеального газа
2.8.1. Число
состояний и критерий невырожденности.
Для расчета числа состояний моделируем
идеальный газ квазиклассической
системой. Каждому состоянию свободной
частицы в фазовом пространстве (три
степени свободы,
)
отвечает элементарная ячейка объемом
(
– постоянная Планка). Объем фазового
пространства, которому соответствует
в координатном пространстве объем
,
где может находиться частица, а импульс
изменяется в интервале от
до
,
равен
.
Тогда число состояний определяется
формулой
, (2.31.а)
или, учитывая связь между энергией частицы и импульсом ( ),
. (2.31.б)
Плотность числа
состояний свободной частицы пропорциональна
.
Если в качестве частицы рассматривать
электрон, который имеет в каждой ячейке
два состояния, отличающиеся направлением
спина, число его состояний удваивается,
.
Формулы легко обобщаются на системы с
произвольным числом степеней свободы
.
Общее число
состояний свободной частицы в интервале
энергий от
до
определяется интегралом
. (2.32)
При числе частиц в объеме критерий невырожденности принимает вид
. (2.33)
Для одноатомного
молекулярного газа, например, азота при
нормальных условиях (
м–3,
кг,
Дж·с,
Дж)
.
Такие малые значения критерия
свидетельствуют, что обычные молекулярные
газы в нормальных условиях являются
невырожденными и описываются статистикой
Максвелла-Больцмана. Электронный газ
в металлах (
м–3,
кг)
оказывается вырожденным вплоть до
температур
К
(
)
и в реальных условиях подчиняется
квантовой статистике Ферми-Дирака.
Невырожденное состояние электронного
газа может быть достигнуто уменьшением
концентрации
.
Уже при
м–3
критерий
.
Такая и меньшая концентрация электронов
имеет место в невырожденных полупроводниках.
2.8.2. Функция
распределения идеального газа суть
плотность частиц
в данном состоянии. Связь между
термодинамическими параметрами системы
и характеристиками микрочастиц задается
полной статистической функции
распределения
,
имеющей смысл числа частиц с энергией
от
до
.
Её можно представить произведением
числа состояний
на вероятность их заполнения:
.
Функцию
называют функцией распределения.
Кроме вероятности заполнения состояний,
она имеет смысл среднего числа частиц,
приходящегося на одно состояние. Из
известных распределений Максвелла
и
для импульсов и энергий одноатомной
молекулы (2.5) и (2.7) нетрудно получить
число соответствующих свободных молекул
в объеме
,
т.е. полную функцию распределения:
(2.34)
Функция распределения
(2.35)
получила название функция распределения Максвелла-Больцмана. Её можно записать и в другом виде – в форме распределения Гиббса для системы с переменным числом частиц, для чего воспользуемся тождеством
. (2.36)
Распределение Максвелла-Больцмана принимает вид
. (2.37)
Введенный здесь параметр
, (2.38)
как будет показана в следующих разделах, является химическим (парциальным) потенциалом.
2.8.3. Функция (интеграл) состояний. Согласно определению, функция состояний идеального одноатомного газа в квазиклассическом приближении имеет вид
. (2.39)
Поскольку все частицы газа являются независимыми, то
,
где произведение берется по всем координатам и импульсам частиц. Штрих в произведении означает, что при его образовании следует включать в него только такие члены, которые отвечают различным состояниям системы в целом. Последующее интегрирование ведется по соответствующим областям фазового пространства
.
Если бы молекулы
в газе отличались друг от друга, то
определенным значениям импульса и
координаты частиц соответствовало одно
состояние газа, т.е.
.
Но частицы однородного газа – молекулы,
атомы ничем не отличаются друг от друга.
Для определения
области интегрирования рассмотрим
случай двух частиц. Пусть первая частица
имеет импульс
и координату
,
а вторая –
и
.
В силу тождественности частиц состояние
системы не изменится, если значения
импульса и координаты второй молекулы
станут равными первой и наоборот. В
такой системе из двух частиц следует
интегрировать по всем состояниям –
координатам и импульсам двух частиц
(
,
,
,
),
но полученный результат уменьшить
вдвое. При этом автоматически будет
учтено, что «перестановка» в фазовом
пространстве изобразительных точек
(состояний частиц) не приводит к разным
состояниям системы.
Полученный результат
обобщается на произвольные состояния
газа, содержащего
тождественных молекул. Можно сказать,
что совокупность всех состояний, которые
получаются перестановкой между собой
изобразительных точек в фазовом
пространстве, являются тождественными
физическими состояниями – отвечают
только одному физическому состоянию.
Поэтому при выполнении интегрирования
по всем возможным значениям координат
и импульсов молекул нужно разделить
результат на число перестановок
изобразительных точек между собой, т.е.
на
.
В частном случае для двух молекул
.
Итак можно записать
.
Соответственно для функции состояний имеем:
, (2.40)
где интегрирование
ведется по всему фазовому пространству.
Учитывая, что полная энергия идеального
газа равна сумме энергий составляющих
его молекул
,
находим
(2.41)
где
– ранее определенный интеграл состояний
одной молекулы, поэтому
. (2.42)
Через эту функцию состояний находятся все термодинамические потенциалы, а следовательно, свойства идеального газа как системы, подчиняющейся классической статистике.