- •1. Основные положения статистической термодинамики
- •1.1. Понятия и начала феноменологической термодинамики.
- •1.2. Микроскопическое (механическое) описание классических систем.
- •1.3. Особенности представления квантовых систем
- •1.4. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства. Метод ансамблей Гиббса.
- •1.5. Макроскопические величины как фазовые средние
- •1.6. Распределение в системах с постоянным числом частиц
- •1.6.2. Распределения Гиббса.
- •1.6.3. Квазиклассическое приближение.
- •1.7. Свойства распределения Гиббса
- •1.8. Большое каноническое распределение Гиббса
- •2. Статистика идеального газа
- •2.1. Идеальный газ как модель статистической системы
- •2.2. Распределение Максвелла
- •2.3. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление
- •2.4. Характерные величины идеального газа
- •2.5. Столкновение молекул между собой
- •2.6. Длина свободного пробега
- •2.7. Идеальный газ во внешнем поле
- •2.8. Число и функция состояний идеального газа
- •2.9. Классическая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.10. Квантовая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.11. Распределения в квантовых системах
- •3. Законы термодинамики
- •3.1. Статистическое обоснование первого начала термодинамики
- •3.2. Второе начало термодинамики
- •3.3. Вечный двигатель второго рода. Максимальная работа процессов
- •3.4. Полезная работа тепловых машин
- •3.5. Метод термодинамических потенциалов
- •3.6. Термодинамические коэффициенты. Критерии устойчивости равновесия
- •3.7. Статистическое вычисление термодинамических величин
- •3.8. Третье начало термодинамики (теорема Нернста)
- •3.9. Применения термодинамики
- •4. Статистика сложных систем.
- •4.1. Модель кристаллического твердого тела. Уравнение движения атомов
- •4.2. Дисперсионное уравнение нормальных колебаний кристалла
- •4.3. Кристалл как система линейных гармонических осцилляторов
- •4.4. Статистическая сумма и энергия кристалла (в гармоническом приближении)
- •4.5. Теория теплоемкости Дебая
- •4.6. Электронный газ в металлах
- •4.7. Зависимость энергии электрона от волнового вектора. Эффективная масса
- •4.8. Теория парамагнетизма. Природа и характеристики магнетизма.
- •4.9. Равновесное излучение.
- •4.10. Системы с кулоновским взаимодействием частиц.
- •5. Теория малых флуктуаций
- •5.1. Определение и значение флуктуаций
- •5.2. Мера вероятности и масштаб флуктуаций
- •5.3. Флуктуации термодинамических величин в однородной среде
- •5.4. Предельная чувствительность измерительных приборов
- •5.5. Рассеяния света флуктуациями
- •6. Элементы теории физической кинетики
- •6.1. Определения и характеристики необратимых процессов
- •6.2. Теория стационарных процессов в газе свободных электронов
- •6.3. Газокинетическое уравнение Больцмана
- •6.4. Приближение времени релаксации
- •Раздел 2
- •Раздел 2
- •Раздел 3
- •Раздел 4
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Список Литературы
2.2. Распределение Максвелла
Отдельно выделенная молекула идеального газа в данный момент времени находится в каком-то состоянии, которое характеризуется ее положением в пространстве, импульсом (скоростью, энергией). Через весьма короткое время в результате взаимодействия с другими молекулами она перейдет в другое состояние. Поэтому состояние одной молекулы из большой их совокупности не характеризует состояние всего газа. По этой же причине нет необходимости следить за последовательным изменением состояния отдельной молекулы с течением времени.
Задача сводится к нахождению вероятности того, что одна произвольно выделенная молекула из их совокупности в равновесном идеальном газе попадает в некоторое -е состояние. Исходя из определения идеального газа мы имеем: 1) наличие макроскопической системы (термостата) – газа, окружающего молекулу (подсистему); 2) слабое взаимодействие между молекулой и термостатом. Эти условия характеризуют ансамбль, подчиняющийся каноническому распределению Гиббса.
Элемент фазового объема в –пространстве (шестимерном) в декартовой и сферической системах координат соответственно равен
, ,
а кинетическая энергия молекулы (в отсутствии внешнего поля) есть
. (2.2)
Подстановка этих выражений в распределение Гиббса определяет вероятность для молекулы находится в объеме и иметь энергию (импульс) в интервале от до ( ):
, (2.3)
где . Представление искомой вероятности в виде произведения сомножителей и свидетельствует о независимости импульса (скорости) молекулы от ее положения в пространстве и о независимости проекций импульса (скоростей).
В кинетической теории газа принято считать, что проекции импульса (скорости) могут принимать значения от до . В этом приближении интегралы в знаменателе (2.3) оказываются равными
, .
Подстановка их в исходное равенство позволяет найти вероятности того, что молекула имеет как проекции, так и абсолютное значение скорости, импульса ( ) и кинетическую энергию :
(2.4)
(2.5)
; (2.6)
. (2.7)
Формулы получили название распределение Максвелла. Здесь модуль статистической температуры заменен на . Правомерность замены обоснована в следующем разделе. Знание указанных вероятностей дает возможность определить плотность числа молекул, обладающих соответствующими параметром:
, (2.8)
где – общая плотность молекул, .
2.3. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление
При движении в замкнутом сосуде молекула газа, приближаясь к стенке, со стороны ее молекул испытывает весьма сильное отталкивание и отражается внутрь сосуда. Можно считать, что отражение молекулы от стенки сосуда происходит совершенно упруго, т.е. компонента скорости, перпендикулярная плоскости стенки, при отражении меняет знак.
Выделим в стенке сосуда площадью , перпендикулярную оси . Тогда при отражении от нее молекула, имевшая компоненты скорости , приобретает компоненты скорости – , т.е. происходит изменение проекции импульса на оси от значения до значения . Это изменение импульса передается отражающей стенке. Таким образом, столкновения молекул со стенкой приводит к появлению силы, действующей на поверхность сосуда. Силу, действующую на единицу поверхности стенки со стороны всех молекул газа, отождествляют с макроскопическим давлением. Такое утверждение, являющееся по сути основой кинетической теории газов, казалось в свое время радикальным. Однако сейчас оно представляется естественным и очевидным.
Для определения давления нужно вычислить полное изменение количества движения молекул газа, испытывающих отражение от единицы поверхности сосуда в единицу времени. Очевидно, оно равно изменению импульса в одном соударении со стенкой ( ), умноженному на полное число ударов в 1 сек на 1 см2 поверхности. В единицу времени поверхности стенки будут достигать все молекулы, находящиеся от нее на расстоянии, меньшем или равным . На 1 см2 поверхности за 1 сек попадают все молекулы, находящиеся в цилиндре высотой с основанием 1 см2 (Рис. 2.1). В его объеме (см3) находится молекул, компонента скорости которых лежат между и ; и ; и . Поверхности стенок достигают все молекулы, находящиеся в указанном цилиндре, независимо от значения компонент скорости и . Здесь не учитываются столкновения молекул между собой. Однако, молекулы, не достигающие стенки из-за соударений, передают свой импульс молекулам, долетающим до стенки.
Рис. 2.1.
Число молекул с проекцией скорости , которые за 1 сек достигают поверхности стенки и общий импульс, передаваемый ими, равны
.
.
Для вычисления полного импульса проинтегрируем последнее выражение по всем возможным значениям компоненты скорости от до :
.
Отрицательные проекции скорости в расчет не берутся, т.к. эти молекулы движутся в противоположном направлении и не передают своего импульса стенке. Вычисленная таким образом величина есть сила, действующая на единицу площади, т.е. давление.
Сопоставление (2.9) с уравнением состояния одного моля ( ) разреженного газа (2.1.а), полученным опытным путем, определяет модуль статистического распределения Гиббса через абсолютную температуру
. (2.10)