![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Основные положения статистической термодинамики
- •1.1. Понятия и начала феноменологической термодинамики.
- •1.2. Микроскопическое (механическое) описание классических систем.
- •1.3. Особенности представления квантовых систем
- •1.4. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства. Метод ансамблей Гиббса.
- •1.5. Макроскопические величины как фазовые средние
- •1.6. Распределение в системах с постоянным числом частиц
- •1.6.2. Распределения Гиббса.
- •1.6.3. Квазиклассическое приближение.
- •1.7. Свойства распределения Гиббса
- •1.8. Большое каноническое распределение Гиббса
- •2. Статистика идеального газа
- •2.1. Идеальный газ как модель статистической системы
- •2.2. Распределение Максвелла
- •2.3. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление
- •2.4. Характерные величины идеального газа
- •2.5. Столкновение молекул между собой
- •2.6. Длина свободного пробега
- •2.7. Идеальный газ во внешнем поле
- •2.8. Число и функция состояний идеального газа
- •2.9. Классическая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.10. Квантовая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.11. Распределения в квантовых системах
- •3. Законы термодинамики
- •3.1. Статистическое обоснование первого начала термодинамики
- •3.2. Второе начало термодинамики
- •3.3. Вечный двигатель второго рода. Максимальная работа процессов
- •3.4. Полезная работа тепловых машин
- •3.5. Метод термодинамических потенциалов
- •3.6. Термодинамические коэффициенты. Критерии устойчивости равновесия
- •3.7. Статистическое вычисление термодинамических величин
- •3.8. Третье начало термодинамики (теорема Нернста)
- •3.9. Применения термодинамики
- •4. Статистика сложных систем.
- •4.1. Модель кристаллического твердого тела. Уравнение движения атомов
- •4.2. Дисперсионное уравнение нормальных колебаний кристалла
- •4.3. Кристалл как система линейных гармонических осцилляторов
- •4.4. Статистическая сумма и энергия кристалла (в гармоническом приближении)
- •4.5. Теория теплоемкости Дебая
- •4.6. Электронный газ в металлах
- •4.7. Зависимость энергии электрона от волнового вектора. Эффективная масса
- •4.8. Теория парамагнетизма. Природа и характеристики магнетизма.
- •4.9. Равновесное излучение.
- •4.10. Системы с кулоновским взаимодействием частиц.
- •5. Теория малых флуктуаций
- •5.1. Определение и значение флуктуаций
- •5.2. Мера вероятности и масштаб флуктуаций
- •5.3. Флуктуации термодинамических величин в однородной среде
- •5.4. Предельная чувствительность измерительных приборов
- •5.5. Рассеяния света флуктуациями
- •6. Элементы теории физической кинетики
- •6.1. Определения и характеристики необратимых процессов
- •6.2. Теория стационарных процессов в газе свободных электронов
- •6.3. Газокинетическое уравнение Больцмана
- •6.4. Приближение времени релаксации
- •Раздел 2
- •Раздел 2
- •Раздел 3
- •Раздел 4
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Список Литературы
4.2. Дисперсионное уравнение нормальных колебаний кристалла
Отклонение одного
атома от положения равновесия приводит
к появлению возмущения, которое
распространяется вдоль цепочки, доходит
до последнего атома (до границы),
отражается и идет в противоположном
направлении к другому концу цепочки,
здесь оно вновь отражается и т.д. В
результате возникают волны, бегущие в
противоположных направлениях, наложение
которых приводит к образованию стоячих
волн. Поэтому решение уравнения (4.1)
ищется в виде стоячей волны с круговой
частотой
и волновым числом
:
. (4.2)
где
– равновесное расстояние между атомами.
Учитывая граничные условия
,
имеем
,
. (4.3)
Таким образом,
смещение
можно представить в виде суперпозиции
волн
:
. (4.4)
В теории твердого
тела волны
известны как нормальные колебания
(их электродинамический аналог называют
собственными волнами (колебаниями)
системы). Вычисление правой части (4.1)
для
-го
нормального колебания дает
Так как
,
то из (4.1) следует дисперсионное
уравнение нормальных колебаний:
|
|
Рис. 4.1. |
Рис. 4.2. |
. (4.5)
В
цепочке из
атомов возможно появление стоячих волн
с различными частотами
(
).
Этим частотам
соответствует
волновых чисел
(4.3) или различных длин волн
.
При самой большой длине волны
во всей цепочке укладывается одна
полуволна. С ростом
от 0 до
частота нормальный колебаний увеличивается
и при
(минимальная длина волны
)
достигает максимального значения
(Рис. 4.1). Наглядную картину о формировании
нормальных колебаний дает рис. 4.2, который
отражает поперечные смещения атомов
линейной цепочки. Её можно трактовать
как струну. При закрепленных концах
цепочки основное колебание, отвечающее
самой низкой частоте
,
соответствует стоячей волне с узлами
на концах (рис. 4.2, б, кривая 1). Следующему
колебанию отвечает волна с узлами не
только на концах, но и на середине цепочки
(кривая 2). Третьему колебанию, или, как
говорят, третьей гармонике соответствует
стоячая волна с двумя узлами, делящими
цепочку на три равные части (кривая 3) и
т.д. Очевидно, что самая короткая длина
волны равна удвоенному расстоянию между
атомами цепочки (рис. 4.2, в):
.
При нормальных колебаниях все атомы
цепочки колеблются с одинаковой частотой
(
зависит только от
,
но не от номера
атома). Реальная
траектория колебания
-го
атома, а именно: его амплитуда колебания
в текущий момент времени есть сумма
амплитуд его смещений в каждом из
нормальных колебаний.
Скорость
распространения
возбуждаемой упругой волны
-ой
моды
(4.6)
оказывается
функцией длины волны. В длинноволновом
диапазоне, когда длина волны намного
больше постоянной решетки (
,
),
очень большое число атомов колеблются
синфазно. Поэтому атомная структура
решетки (ее дискретность) не сказывается
на ее свойствах. Кристалл в этом диапазоне
ведет себя как сплошная упругая среда.
И скорость распространения волн совпадает
со скоростью упругих (звуковых) волн в
сплошной среде
. (4.7)
Таким образом,
коллективное движение связанных атомов
в кристалле может быть описано через
независимые нормальные колебания.
Последние обладают следующими характерными
для дискретных структур свойствами: 1)
частотный диапазон их существования
ограничен максимальной частотой
;
для характерных параметров: постоянной
решетки
м
и скорости звука
м/с
с – 1;
2) скорость распространения волн зависит
от частоты. Заметим, что в реальных
трехмерных упругоизотропных кристаллах
возбуждаются две поперечные и одна
продольная упругие (звуковые) волны.