2.2. Распределение Максвелла

Отдельно выделенная молекула идеального газа в данный момент времени находится в каком-то состоянии, которое характеризуется ее положением в пространстве, импульсом (скоростью, энергией). Через весьма короткое время в результате взаимодействия с другими молекулами она перейдет в другое состояние. Поэтому состояние одной молекулы из большой их совокупности не характеризует состояние всего газа. По этой же причине нет необходимости следить за последовательным изменением состояния отдельной молекулы с течением времени.

Задача сводится к нахождению вероятности того, что одна произвольно выделенная молекула из их совокупности в равновесном идеальном газе попадает в некоторое -е состояние. Исходя из определения идеального газа мы имеем: 1) наличие макроскопической системы (термостата) – газа, окружающего молекулу (подсистему); 2) слабое взаимодействие между молекулой и термостатом. Эти условия характеризуют ансамбль, подчиняющийся каноническому распределению Гиббса.

Элемент фазового объема в –пространстве (шестимерном) в декартовой и сферической системах координат соответственно равен

, ,

а кинетическая энергия молекулы (в отсутствии внешнего поля) есть

. (2.2)

Подстановка этих выражений в распределение Гиббса определяет вероятность для молекулы находится в объеме и иметь энергию (импульс) в интервале от до ( ):

, (2.3)

где . Представление искомой вероятности в виде произведения сомножителей и свидетельствует о независимости импульса (скорости) молекулы от ее положения в пространстве и о независимости проекций импульса (скоростей).

В кинетической теории газа принято считать, что проекции импульса (скорости) могут принимать значения от до . В этом приближении интегралы в знаменателе (2.3) оказываются равными

, .

Подстановка их в исходное равенство позволяет найти вероятности того, что молекула имеет как проекции, так и абсолютное значение скорости, импульса ( ) и кинетическую энергию :

(2.4)

(2.5)

; (2.6)

. (2.7)

Формулы получили название распределение Максвелла. Здесь модуль статистической температуры заменен на . Правомерность замены обоснована в следующем разделе. Знание указанных вероятностей дает возможность определить плотность числа молекул, обладающих соответствующими параметром:

, (2.8)

где – общая плотность молекул, .

2.3. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление

При движении в замкнутом сосуде молекула газа, приближаясь к стенке, со стороны ее молекул испытывает весьма сильное отталкивание и отражается внутрь сосуда. Можно считать, что отражение молекулы от стенки сосуда происходит совершенно упруго, т.е. компонента скорости, перпендикулярная плоскости стенки, при отражении меняет знак.

Выделим в стенке сосуда площадью , перпендикулярную оси . Тогда при отражении от нее молекула, имевшая компоненты скорости , приобретает компоненты скорости – , т.е. происходит изменение проекции импульса на оси от значения до значения . Это изменение импульса передается отражающей стенке. Таким образом, столкновения молекул со стенкой приводит к появлению силы, действующей на поверхность сосуда. Силу, действующую на единицу поверхности стенки со стороны всех молекул газа, отождествляют с макроскопическим давлением. Такое утверждение, являющееся по сути основой кинетической теории газов, казалось в свое время радикальным. Однако сейчас оно представляется естественным и очевидным.

Для определения давления нужно вычислить полное изменение количества движения молекул газа, испытывающих отражение от единицы поверхности сосуда в единицу времени. Очевидно, оно равно изменению импульса в одном соударении со стенкой ( ), умноженному на полное число ударов в 1 сек на 1 см² поверхности. В единицу времени поверхности стенки будут достигать все молекулы, находящиеся от нее на расстоянии, меньшем или равным . На 1 см² поверхности за 1 сек попадают все молекулы, находящиеся в цилиндре высотой с основанием 1 см² (Рис. 2.1). В его объеме (см³) находится молекул, компонента скорости которых лежат между и ; и ; и . Поверхности стенок достигают все молекулы, находящиеся в указанном цилиндре, независимо от значения компонент скорости и . Здесь не учитываются столкновения молекул между собой. Однако, молекулы, не достигающие стенки из-за соударений, передают свой импульс молекулам, долетающим до стенки.

Рис. 2.1.

Число молекул с проекцией скорости , которые за 1 сек достигают поверхности стенки и общий импульс, передаваемый ими, равны

.

.

Для вычисления полного импульса проинтегрируем последнее выражение по всем возможным значениям компоненты скорости от до :

.

Отрицательные проекции скорости в расчет не берутся, т.к. эти молекулы движутся в противоположном направлении и не передают своего импульса стенке. Вычисленная таким образом величина есть сила, действующая на единицу площади, т.е. давление.

Сопоставление (2.9) с уравнением состояния одного моля ( ) разреженного газа (2.1.а), полученным опытным путем, определяет модуль статистического распределения Гиббса через абсолютную температуру

. (2.10)