- •Часть I.
- •11.2.3. Решение линейных дифференциальных уравнений
- •11.2.5. Исследование управляемого движения с помощью
- •Лекция 1.
- •Введение. Предмет курса
- •Характеристики Земли, ее атмосферы (см. Рис.1)
- •Лекция 2.
- •Аэродинамические силы и продольный момент изолированного крыла
- •Пример 1 (см. Рис. 10).
- •Пример 2.
- •Пример 3 (рис.11).
- •Лекция 3.
- •Полная аэродинамическая сила и продольный момент ла
- •4 Рис. 16 .1 Аэродинамические характеристики крыла
- •4.2 Системы координат и углы, определяющие положение ла в пространстве
- •Лекция 4.
- •4.3 Полная аэродинамическая сила всего ла
- •Примеры
- •4.4.Полный момент ла, обусловленный аэродинамическими силами
- •Уравнения движения ла
- •5.1 Уравнения движения в векторной форме
- •Лекция 5.
- •5.2 Уравнения движения ла в скалярной форме
- •Кинематические уравнения. Связь между углами
- •6. 1 Кинематические уравнения движения центра масс (цм) ла можно получить, разложив векторное уравнение
- •6.2 Кинематические уравнения, описывающие вращение ла относительно нормальной системы координат (рис.24) Вид по стрелке а
- •Лекция 6.
- •Уравнения движения центра масс ла в частных случаях
- •7.1 Полёт без крена и скольжения относительно сферической невращающейся Земли при отсутствии ветра
- •7.2 Полет без крена и скольжения относительно плоской невращающейся Земли при отсутствии ветра.
- •7.3 Горизонтальный полет с креном и без скольжения
- •7.4 Перегрузка. Уравнения движения центра масс в безразмерной форме
- •Лекция 8.
- •8.2 Установившийся набор высоты. Скороподъемность ла
- •8.3 Особенности летных характеристик и динамики вертолета
- •Лекция 9.
- •8.4. Диапазон высот и скоростей полета вертолета
- •8.5 Установившееся снижение самолета. Планирование
- •8.6 Виражи.
- •8.7 Правильный вираж (без скольжения, с креном и постоянной скоростью).
- •Лекция 10.
- •Методы наведения при атаке воздушной цели
- •9.1 Область возможных атак по методу погони
- •Лекция 11.
- •9.2 Движение ракеты в плотных слоях атмосферы
- •Лекция 12.
- •10. Устойчивость и управляемость движения
- •10.1. Виды устойчивости движения
- •10.2. Статическая и динамическая устойчивость и управляемость ла
- •Лекция 13.
- •10.3. Управление движением ла. Использование автоматических средств управления
- •Лекция 14.
- •10.4. Показатели статической устойчивости и управляемости
- •Лекция 15.
- •10.5 Диапазон центровок ла
- •11.Исследование возмущённого движения ла
- •11.1 Уравнения возмущённого движения ла
- •Лекция 16.
- •11.2 Математические методы исследования
- •11.2.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами классическим методом
- •11.2.2 Алгебраические критерии устойчивости
- •Лекция 17.
- •11.2.3 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом
- •Пример.
- •11.2.4 Исследование управляемого движения с помощью передаточных функций
- •11.2.5 Исследование управляемого движения с помощью частотных характеристик
- •Литература Основная
- •Дополнительная
Лекция 5.
5.2 Уравнения движения ла в скалярной форме
В практических исследованиях векторные уравнения (5.2), (5.3) заменяют эквивалентной системой дифференциальных уравнений в проекциях на выбранные (обычно связанные с центром масс ЦМ ЛА) системы координат.
Будем считать, что путем параллельного переноса силы приложены в ЦМ ЛА. Если вектор силы направлен от нас, обозначим , а в случае - к нам будем обозначать .
Рассмотрим схему действующих сил для 3-х видов ЛА (рис.21).
Рис. 21
р – угол установки двигателя, угол поворота по отношению к связанной СК |
- полный вектор тяги несущего винта, (–компоненты в связанной СК), –гироскопический момент от вращающихся частей (винты, ротор) – тяга рулевого винта |
Уравнения движения ЦМ самолетов и ракет и их вращательное движение в инерциальной системе отсчета в векторной форме (5.2),(5.3) c учетом действующих сил и моментов запишем в виде:
m; (уравнение сил) (5.4)
. (уравнение моментов) (5.5)
Если система отсчета неинерциальная, то добавляются кориолисовы и переносные силы инерции. Для большинства ЛА и - малы. Индекс “0” в выражениях для и здесь и в дальнейшем будет опускаться. , т.к. обычно выбранные системы координат располагаются в ЦМ ЛА.
Уравнения движения вертолета
m ;
(уравнение сил) (5.6)
.
(уравнение моментов) (5.7)
Наиболее простую форму система уравнений движения ЦМ самолетов и ракет примет, если (5.4) спроецировать на оси траекторной системы координат.Получим уравнения движения относительно сферической невращающейся Земли при отсутствии ветра ([1], стр.29).
; (5.8)
; (5.9)
(5.10)
Составляющие ;
представляют собой центробежные силы инерции, обусловленные кривизной земной поверхности. Здесь - угол местной широты. Если Землю считать плоской т.е.,то этими составляющими пренебрегают. Ускорение, обусловленное кривизной Земли при скорости ЛА около 1000 достигает 1,6 от g(H). Для ЛА, у которых скорость кривизна Земли обычно не учитывается, или учитывается в виде поправок в конечные результаты расчетов.
В уравнения (5.8) – (5.10) входит масса самолета или ракеты, которая меняется с течением времени из-за выгорания топлива, поэтому рассматривается дополнительное дифференциальное уравнение для учета изменения массы ЛА.
(5.11)
где – секундный массовый расход топлива;
– степень дросселирования тяги двигателя.
Проецирование векторных уравнений на выбранные СК удобно производить с помощью таблиц (матриц) направляющих косинусов между различными СК [1], [2] и использовать матричные преобразования (см.Приложение 1,таблица 1,2.).
Тот же результат можно получить, если использовать «теорию бесконечно малых величин» для описания изменения параметров траектории.
Например: (Земля принимается плоской) (рис. 22).
Рис. 22
Здесь t2=t1+t, OXk совпадает с . Поэтому проекция ускорения на OXk будет равна:
Проекция на OYk:
.
Проекция на OZk:
У нас . Аналогично можно вывести проекции сил и ускорений, обусловленных кривизной Земли.
Рассмотрим уравнения моментов в скалярной форме при проектировании (5.5) на оси связанной СК, ориентированных вдоль главных осей инерции самолета (ракеты), для которых центробежные моменты инерции нулевые (Ixz=Iyz=0), а значения Ixy - малы. Из курса теоретической механики известно, что уравнения вращательного движения ЛА в проекциях (5.5) на OXYZ запишутся в виде [1], [2]
; (5.12)
; (5.13)
, (5.14)
где: – проекции вектора угловой скорости вращения ЛА на главные центральные оси инерции;
Mx, My, Mz – сумма проекций моментов сил, входящих в правую часть (5.5), соответственно на оси OX, OY, OZ;
Ix, Iy, Iz – главные центральные моменты инерции ЛА, являющиеся функциями массы: Ix(m), Iy(m), Iz(m).
Уравнения движения центра масс (5.6) вертолета часто используют в проекциях на связанные оси координат OXYZ в следующей форме ([2], стр.40):
; (5.15)
; (5.16)
. (5.17)
Здесь Vx, Vy, Vz, – проекции векторов линейной и угловой скорости и соответственно на оси OX, OY, OZ; X, Y, Z – проекции сил, входящих в правую часть (5.6), соответственно на оси OX, OY и OZ.
Уравнения вращательного движения вертолета в проекциях на оси связанной СК имеют вид (5.12) – (5.14), в которых Mx, My, Mz определяются как сумма проекций моментов, входящих в правую часть (5.7), соответственно на оси OX, OY и OZ.
Отметим, что если для вертолета или любого другого ЛА значение центробежного момента инерции Ixy является существенной величиной, то можно использовать уравнения в форме (1.57) [1] стр.33.
Обычно в математической модели движения вертолета к системам уравнений (5.12) – (5.14) добавляют уравнение равновесия моментов относительно вала несущего винта
, (5.18)
где Myв – суммарный крутящий момент, обусловленный несущими винтами вертолёта, и момента, создаваемого силовой установкой; Iyв- приведённый момент инерции вращающихся элементов относительно вала несущего винта; - угловая скорость вращения винта.