- •Часть I.
- •11.2.3. Решение линейных дифференциальных уравнений
- •11.2.5. Исследование управляемого движения с помощью
- •Лекция 1.
- •Введение. Предмет курса
- •Характеристики Земли, ее атмосферы (см. Рис.1)
- •Лекция 2.
- •Аэродинамические силы и продольный момент изолированного крыла
- •Пример 1 (см. Рис. 10).
- •Пример 2.
- •Пример 3 (рис.11).
- •Лекция 3.
- •Полная аэродинамическая сила и продольный момент ла
- •4 Рис. 16 .1 Аэродинамические характеристики крыла
- •4.2 Системы координат и углы, определяющие положение ла в пространстве
- •Лекция 4.
- •4.3 Полная аэродинамическая сила всего ла
- •Примеры
- •4.4.Полный момент ла, обусловленный аэродинамическими силами
- •Уравнения движения ла
- •5.1 Уравнения движения в векторной форме
- •Лекция 5.
- •5.2 Уравнения движения ла в скалярной форме
- •Кинематические уравнения. Связь между углами
- •6. 1 Кинематические уравнения движения центра масс (цм) ла можно получить, разложив векторное уравнение
- •6.2 Кинематические уравнения, описывающие вращение ла относительно нормальной системы координат (рис.24) Вид по стрелке а
- •Лекция 6.
- •Уравнения движения центра масс ла в частных случаях
- •7.1 Полёт без крена и скольжения относительно сферической невращающейся Земли при отсутствии ветра
- •7.2 Полет без крена и скольжения относительно плоской невращающейся Земли при отсутствии ветра.
- •7.3 Горизонтальный полет с креном и без скольжения
- •7.4 Перегрузка. Уравнения движения центра масс в безразмерной форме
- •Лекция 8.
- •8.2 Установившийся набор высоты. Скороподъемность ла
- •8.3 Особенности летных характеристик и динамики вертолета
- •Лекция 9.
- •8.4. Диапазон высот и скоростей полета вертолета
- •8.5 Установившееся снижение самолета. Планирование
- •8.6 Виражи.
- •8.7 Правильный вираж (без скольжения, с креном и постоянной скоростью).
- •Лекция 10.
- •Методы наведения при атаке воздушной цели
- •9.1 Область возможных атак по методу погони
- •Лекция 11.
- •9.2 Движение ракеты в плотных слоях атмосферы
- •Лекция 12.
- •10. Устойчивость и управляемость движения
- •10.1. Виды устойчивости движения
- •10.2. Статическая и динамическая устойчивость и управляемость ла
- •Лекция 13.
- •10.3. Управление движением ла. Использование автоматических средств управления
- •Лекция 14.
- •10.4. Показатели статической устойчивости и управляемости
- •Лекция 15.
- •10.5 Диапазон центровок ла
- •11.Исследование возмущённого движения ла
- •11.1 Уравнения возмущённого движения ла
- •Лекция 16.
- •11.2 Математические методы исследования
- •11.2.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами классическим методом
- •11.2.2 Алгебраические критерии устойчивости
- •Лекция 17.
- •11.2.3 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом
- •Пример.
- •11.2.4 Исследование управляемого движения с помощью передаточных функций
- •11.2.5 Исследование управляемого движения с помощью частотных характеристик
- •Литература Основная
- •Дополнительная
Пример.
Рассмотрим решение уравнения (аналог описания короткопериодического движения ЛА, если или )
(11.20)
Переходя от оригиналов y(t) и x(t) к изображениям (см. таблицу), получаем
(p2+a1p+a0)Y(p)=X(p)++(a1+p)y0
Отсюда изображение Y(p) функции y(t)
.
Соответствующий этому изображению оригинал
.
Предполагая, что корни и знаменателя простые и действительные, по таблицам обратного перехода от изображения к оригиналам находим:
.
Для определения оригинала, соответствующего изображению следует задаться конкретным видом функции x(t) и определить ее с помощью .
Достоинство этого метода состоит в том, что уменьшается объем и сложность вычислительных работ по сравнению с классическим методом. Не требуется определения произвольных постоянных, т.к. сразу находится решение, удовлетворяющее исходным условиям.
11.2.4 Исследование управляемого движения с помощью передаточных функций
Оценки управляемости различных ЛА принято рассматривать как их реакцию на скачкообразное (ступенчатое) отклонение органов управления и на отклонение по гармоническому закону.
При ступенчатом отклонении изучаются переходные или временные характеристики (функции) ЛА, а при гармоническом - частотные.
Частотные характеристики системы (звена) определяются как зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входного сигнала и сдвига по фазе выходной величины по отношению к входному сигналу от частоты входного воздействия.
При изучении переходных характеристик (процессов) удобно пользоваться передаточными функциями, а частотных характеристик - частотными функциями.
Передаточной функцией называют отношение изображения выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях:
. (11.21)
Пример. Пусть задано уравнение, описывающее короткопериодическое движение ЛА, в виде (начальные условия - нулевые):
, (11.22)
здесь: или Переходя от оригиналов к изображениям, получаем
(11.23)
и передаточная функция:
(11.24)
Поскольку знаменатель (11.24) составляется по левой части (11.22), то он является характеристическим полиномом дифференциального уравнения (11.22) с той лишь разницей, что вместо l стоит параметр .Приравнивая к нулю знаменатель передаточной функции (11.24), получим
(11.25)
Корни этого уравнения называются полюсами передаточной функции или корнями характеристического уравнения (11.22).Если то корни будут комплексными сопряженными
(11.26)
В этом случае будет переходной процесс изменения выходной величины и звено являются колебательными. Если , то оба корня будут действительными
.
Процесс будет апериодическим, а звено - апериодическим второго порядка.
Выражая через передаточную функцию (11.24), получим
. (11.27)
Для определения переходной (временной) функции надо за входное воздействие принять ступенчатую функцию, изображение которой . Следовательно
.
По (11.19)
Переходя при помощи таблиц от изображения к оригиналу для случая получим переходную функцию колебательного звена
Δ, (11.28)
где – передаточный коэффициент, – коэффициент демпфирования, – круговая частота колебаний, – опорная частота или частота недемпфированных колебаний, - сдвиг по фазе
. (11.29)
В (11.28) первое слагаемое определяет вынужденное движение, а второе – собственное (свободное) колебательное движение, определяющее переходный процесс.
Рассмотрим пример определения одной из характеристик управляемости, в частности с помощью передаточной функции. Эта производная может быть представлена в видe .Изображение Лапласа для знаменателя этого выражения
обозначим как передаточную функцию =.Зададим
входное воздействие в виде ступенчатого единичного 1(t),имеющего изображение
по Лапласу 1/p, и приближенно величину .Передаточная функция в нашем
случае имеет вид = p(p) и в соответствии со свойством (11.19) имеем
(p).
При известной структуре (p) можно вычислить (после взятия пределов) установившееся значение выходной величины = и определить по формуле
Приведем здесь перечень некоторых из решаемых задач динамики полета с помощью передаточных функций.
-
Используя знаменатель передаточной функции, можно исследовать динамическую устойчивость (по Ляпунову) по первому приближению, т.к. знаменатель по форме совпадает с характеристическим уравнением с той лишь разницей, что вместо «λ» стоит параметр «p».
-
Если в качестве входного воздействия принять в (11.22), то изображение по Лапласу и W(p) = p Y(p) можно использовать для определения установившегося значения переходной функции y(t) на основе теоремы 2) (11.19), т.к. .
-
При построении систем автоматического управления (САУ) изучаются
передаточные функции «замкнутых» систем, являющихся функциями исходных W(p) и проблема сводится к выбору параметров САУ такими, чтобы характеристики устойчивости и управляемости ВС были оптимальными, удовлетворяющими нормативным документам (АП –23, 25 и др.).
-
Для устойчивых систем от W(p) нетрудно перейти к частотным характеристикам, положив p = iω и исследовать показатели («запасы») устойчивости и управляемости по АФЧХ.
-
Некоторые из показателей статической управляемости можно вычислить непосредственно по Wyx(p).
-
С помощью перехода от изображений к оригиналам нетрудно перейти к исследованиям во временной области.
В заключении заметим, что обычно для ВС составляются перечни (таблицы, «библиотека») передаточных функций, которые широко используются при решении различных задач динамики полета.