Лекция 11.

9.2 Движение ракеты в плотных слоях атмосферы

Рассмотрим, как определить параметры движения ракеты в плотных слоях атмосферы и максимальную дальность её пуска по воздушной цели D_max().

П

Рис. 50

усть t_{p max} – максимальное время управляемого полёта ракеты.

Согласно рисунку 50: D_рmax – максимальная дальность управляемого полёта ракеты.

Для определения дальности D_max графическим способом необходимо рассчитать t_{p max} и D_рmax. Для этого необходимо решить следующие уравнения движения ракеты

На активном участке при работе двигателя тангенциальная перегрузка:

.

Тогда ускорение ракеты:

и .

Отсюда скорость полёта в конце активного участка равна:

,

где - время работы ракетного двигателя. На пассивном участке(P=0) перегрузка:

.

Ракета движется с большой сверхзвуковой скоростью полёта, где:

. (M>>1)

Так как V = aM, то:

,

где а_p=const- баллистический коэффициент ракеты.

Тогда на пассивном участке:

; с начальным условием ;

Отсюда .

Если минимальная скорость управляемого полёта ракеты V_p , то максимальное время пассивного полета:

,

а максимальное время полёта:

.

Определим дальность D_{p max.} Для активного участка:

.

Отсюда пройденный путь ракеты на активном участке:

.

На пассивном участке:

.

Отсюда:

.

При t = t, дальность L = L. Тогда:

и .

Обычно .

Тогда дальность .

Примерный вид зависимостей V(t) и L(t) для ракеты дан на рисунке

Рис. 51

Лекция 12.

10. Устойчивость и управляемость движения

Начнём с понятия устойчивости положения (см. рис. 52).

Рис. 52 а)	Рис. 52 б)
Рис. к пояснению устойчивости положения при «малых возмущениях»	Рис. к пояснению устойчивости движения

10.1. Виды устойчивости движения

Среди различных видов устойчивости, наибольшее распространение получило понятие устойчивости по А.М.Ляпунову. Предполагается, что движения исследуемой динамической системы описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

(начальное условие),

где – n-мерный фазовый вектор, u – m-мерный вектор управления, f( )- вещественная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая условиям Липшица. Пусть для некоторого заданного закона управления t≥t₀, через начальное состояние y°(t₀)=

проходит невозмущенная (опорная, программная) траектория.

Ставится задача об исследовании поведения невозмущенной траектории в случае, если начальные значения y(t₀) отличаются от .

Невозмущенная траектория y°(t) исходной системы называется устойчивой по Ляпунову, если для любого ε>0 можно подобрать δ(ε, t₀)>0 такое, что для всякого решения y(t) той же системы, начальное движение которого удовлетворяет неравенству:

y(t₀)- < δ(ε, t₀)

для всех t≥t₀ справедливо:

y(t, y(t₀), t₀, u°(t)) - y°(t, , t₀, u°(t) < ε,

т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех t≥t₀. Здесь

под нормой понимается=.

Решение y(t, y(t₀), t₀, u°(t)), построенное для заданного программного (опорного)

управления называется возмущенным и исследование устойчивости движения сводится

к анализу свойств решений возмущенного движения. Для проверки свойств возмущенного движения целесообразно сделать замену переменных:

∆y= y(t, y(t₀), t₀, u°(t)) - y°(t, , t₀, u°(t))

и задача сводится к проверке на устойчивость тривиального решения ∆y(t)≡0.

Пример устойчивого тривиального решения ∆y(t)≡0 при заданном ε>0 изображен на

рис.53б) для одной из компонент вектора ∆y_i (t).

Рис. 53 а)

Рис. 53 б)

Аналогичное поведение изображается для всех без исключения компонент вектора ∆y.

Иногда рассматривают частный вид устойчивости только по части компонент вектора ∆y.

Асимптотическая устойчивость предполагает полное устранение возмущения по параметру движения, например уменьшение возмущения по скорости ЛА до нуля ∆V(t)®0 с течением времени t®∞ (рис.53а). В общем случае для анализа устойчивости ЛА используется другое определение.

Под устойчивостью ЛА понимается его способность без участия летчика сохранять заданный опорный режим полета и возвращаться к нему после непроизвольного отклонения от него под действием внешних возмущений, при условии прекращения

действия возмущений. Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом» соответственно при малых (конечных) и больших возмущениях.

Под управляемостью ЛА понимается его способность выполнять в ответ на целенаправленные действия летчика или автоматики любой, предусмотренный в процессе эксплуатации маневр (причем наиболее просто при минимальных затратах энергии летчика) в любых допустимых условиях полета, в том числе при наличии возмущений.

Управляемость различают: 1. продольную (относительно OZ) или по тангажу;

2. путевую (относительно OY) или по рысканию;

3. поперечную (относительно OX) или по крену.

При решении задач динамики полета обычно на первом этапе определяют потребные (оптимальные) траектории движения ЛА, а затем на втором этапе решаются проблемы реализации этих траекторий на практике. Часто в качестве траекторий движения рассматривают «опорные траектории» и требуемые для их выполнения отклонения органов управления, значения тяги двигателей.

Однако реальные движения ЛА всегда отличается от расчетного опорного из- за отличия характеристик самого ЛА, воздушной среды от опорных (заданных, стандартных), неточностей пилотирования, турбулентности воздуха, разброса тяги двигателей и т.п. Поэтому на втором этапе решается задача управления полетом в условиях, максимально приближенных к реальным. Устойчивость и управляемость ЛА проверяется на первом и втором этапах, особенно тщательно исследуется в задачах реализации потребных траекторий на практике.