Окончательно получим схему системы в виде рис.1.16.

Рис.1.16. Окончательный вариант схемы

Тогда главная передаточная функция системы:

.(1.6)

Метод составления системы уравнений

САР, структурная схема которой представлена на рис.1.12, может быть охарактеризована системой уравнений, где в левой части находится величина на выходе данного звена, а в правой – величины на его входе. Таким образом, сигнал на выходе будет представлять собой сигнал на входе с учетом его преобразований, осуществленных данным звеном. В математическом виде это будет выражаться в произведении входного сигнала на передаточную функцию данного звена. В случае, когда звено является сумматором, итоговый сигнал будет являться алгебраической суммой сигналов на входе сумматора [4].

Поставим задачу нахождения передаточной функции любого j-го сигнала схемы по любому i-му сигналу . Очевидно, что

(1.7)

Таким образом, задачу нахождения , можно свести к нахождению .

Для заданного примера запишем систему уравнений (1.8)-(1.19):

Найдем сначала главную передаточную функцию системы . Для этого рассмотрим выражение (1.15), в левой части которого находится выходная переменная х₉. Задача заключается в продвижении при подстановке в эту формулу остальных уравнений к переменным с меньшим номером (окончательно к x₁).

1. В формулу (1.15) подставим значение х₈ из формулы (1.14):

. (1.20)

2. В полученное выражение подставляем значения и из формул (1.13) и (1.16) соответственно:

. (1.21)

Тогда

(1.22)

3. Берем х₆ из формулы (1.12):

. (1.23)

4. Значения х₅ и х₁₁ из формул (1.11) и (1.17) соответственно дают:

, (1.24)

поэтому:

(1.25)

5. Подставим в (1.25) значение х₄ из формулы (1.10):

(1.26)

6. Берем х₃ и х₁₂ из формул (1.9) и (1.18) соответственно:

. (1.27)

7. Значения х₂ и х₇ из формул (1.8) и (1.13) соответственно дают:

. (1.28)

Если при подстановке получается «зацикливание» (т.е. переменная выражается сама через себя), то процесс необходимо завершить и найти промежуточные передаточные функции. В данном случае значение х₆ необходимо подставить из формулы (1.22), а значение х₁₃ - из формулы (1.19):

(1.29)

Тогда

.(1.30)

8. В полученное выражение подставляем значение х₈ из формулы (1.15):

(1.31)

9. Окончательно:

.(1.32)

Так как , то:

.(1.33)

10. Нахождение осуществляется аналогично вышеприведенному с использованием промежуточных формул.

Обозначим знаменатель выражения (1.33) через , тогда:

. (1.34)

10.1. Пользуясь формулой (1.16), находим :

. (1.35)

Аналогично вычисляем все остальные передаточные функции.

10.2. С учетом (1.17):

. (1.36)

10.3. Из формул (1.13), (1.18), (1.22) находим :

(1.37)

10.4. С учетом (1.15), (1.19):

. (1.38)

10.5. Из формулы (1.15) находим :

. (1.39)

10.6. С учетом (1.13), (1.22):

. (1.40)

10.7. Из формул (1.22), (1.32) находим :

.(1.41)

10.8. Используя (1.11) и (1.25), получим :

(1.42)

10.9. Из формулы (1.25) находим :

(1.43)

10.10. С учетом (1.8), (1.9) и (1.38):

.(1.44)

10.11. Используя (1.8) и (1.38) находим :

. (1.45)

Как видно из расчетов, результат, полученный с помощью метода составления системы уравнений для главной передаточной функции системы (1.33), совпадает с результатом, полученным с помощью метода структурных преобразований (1.6).