3.1. Статическая и динамическая ошибки регулирования сар

Максимальная динамическая ошибка – наибольшее отклонение регулируемой переменной от заданного значения У_зад:

. (3.1)

В устойчивой САР максимальным является первое отклонение. Таким образом, показатель характеризует динамическую точность регулирования [14].

Время регулирования t_p –промежуток времени от момента нанесения возмущающего воздействия до момента, начиная с которого отклонение регулируемой переменной от установившегося значения становится и остается меньше наперед заданного значения ].

Остаточное отклонение (остаточная неравномерность) - абсолютная статическая ошибка регулирования, определяемая как разность между установившимся значением регулируемой величины и ее заданным значением:

=У_уст – У_зад. (3.2)

Показатель характеризует точность регулирования в статическом режиме [5].

Во всех системах регулирования обязательно имеется статическая ошибка. Ее можно уменьшать путем увеличения общего коэффициента усиления регулятора. Однако она все равно остается, так как увеличение коэффициента усиления регулятора всегда ограничено.

Причиной статической ошибки системы регулирования является то, что в равновесном состоянии регулятора положение регулирующего органа жестко связано с величиной регулируемой величины [6].

Система регулирования, которая по принципу своего действия обладает статической ошибкой, называется статической системой, а регулятор в этом случае называется статическим регулятором. Статический регулятор осуществляет следующий закон регулирования:

y = k_регх, (3.3)

где х – отклонение регулируемой величины, у – регулирующее воздействие регулятора на объект.

Система автоматического регулирования, не обладающая статической ошибкой, называется астатической системой автоматического регулирования, а регулятор называется астатическим регулятором [3].

3.2. Критерии устойчивости сар

Понятие устойчивости САР связано с способностью системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Устойчивость систем автоматического управления является одним из важнейших условий их работоспособности, так как устойчивость включает в себя требование затухания переходных процессов во времени. Очевидно, что система с расходящимся процессом была бы неработоспособной.

Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования, записанное для регулируемой величины у(t) при наличии управляющего воздействия g(t) и при равенстве нулю возмущающих воздействий (см. формулу (2.4)):

.(3.4)

Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения, как сумма двух решений – частного решения неоднородного уравнения (3.4) с правой частью и общего решения уравнения (3.4) без правой части [1].

Характеристическое уравнение САР имеет вид:

. (3.5)

Корни характеристического уравнения (3.5) определяются только видом левой части уравнения (3.4). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (3.4) и определяется только характеристическим уравнением (3.5) [13].

Так как получающаяся при решении линейного дифференциального уравнения (3.4) формула переходного процесса содержит составляющие в виде экспонент от вещественных частей корней характеристического уравнения САР (3.5) (см. главу 2), то для того, чтобы САР была устойчивой и переходный процесс затухал, необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными.

Следовательно, для устойчивости линейной САР необходимо, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси, в левой полуплоскости комплексных чисел. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: нулевого корня (); пары чисто мнимых корней ; бесконечного корня (). Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

Необходимым (но не достаточным) условием устойчивости САР является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения [7]. Это означает, что система является неустойчивой, если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен. Если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то требуются дополнительные исследования САР на устойчивость с помощью критериев устойчивости Гурвица, Михайлова или Найквиста [3].

В программе «SAU» для определения устойчивости САР используется критерий устойчивости Гурвица, как наиболее удобный с точки зрения компьютерной реализации. В методе Гурвица для характеристического уравнения (3.5) составляется квадратная матрица коэффициентов, содержащая n строк и n столбцов:

. (3.6)

Критерий устойчивости сводится к тому, что при а₀>0 должны быть больше нуля все n определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу:

; ;

(3.7)

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

. (3.8)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию , т.е. к положительности свободного члена характеристического уравнения [1].

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая к нулю последний определитель () при положительности всех остальных определителей. Как следует из (3.8), это условие распадается на два условия: и . Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости), а второе – границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнений более высокого порядка необходимо исследование с помощью составления определителей Гурвица и проверки их на положительность.

Существенным недостатком критерия Гурвица является то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменять параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые более удобны в инженерной практике.