3. Деятельность по изучению утверждений

Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться.

Д. Пойа

1. Структура деятельности «изучение утверждений»

Деятельность по изучению понятия на уроке математики переходит в изучение его свойств, представленных чаще всего в виде теоремы. Деятельность по изучению утверждений (ДИУ) и процесс решения задачи имеют много общего по структуре, поскольку представляют собой различные способы применения знаний о понятиях и их свойствах. Можно сказать, эти виды деятельности порождаются первой — деятельностью введения новых понятий.

Выделение видов деятельности необходимо для их изучения и осуществления деятельностного подхода в математике. В учебном процессе одна деятельность сменяется другой или входит в другую. Так, при изучении арифметического квадратного корня из числа а действия, составляющие деятельность по изучению понятия, сменяются действиями следующего вида деятельности.

Деятельность по изучению утверждений (теорем) осуществляется следующими действиями:

• обнаружение свойства, его формулировка (выдвижение гипотезы);

• изучение структуры математического предложения;

• поиск плана доказательства;

• доказательство утверждения;

• изучение результатов деятельности: выведение следствий теоремы, ее обобщение, различные способы доказательств.

Последнее действие представляет собой конкретизацию общих учебных действий контроля и оценки [33, с. 15] для особого предмета деятельности — теоремы и ее доказательства.

Как показывает опыт, дети очень любят «открывать» новые знания, устанавливать закономерности. Использование деятельностного подхода в обучении именно на этом и основывается. Для понятия арифметического квадратного корня ситуация, приводящая к открытию свойства, легко создается заданиями на вычисление значений выражений, например, следующих: и ; и ; и . Наблюдение и сравнение результатов вычислений приводят учащихся к обобщению, на основе которого выдвигается гипотеза — словесная формулировка утверждения.

Формулировкой гипотезы (теоремы) завершается первое действие деятельности по изучению утверждений. 3а ним следует действие, направленное на изучение структуры теоремы. Суть этого действия заключается в преобразовании словесной формулировки: запись на математическом языке, выделение (если возможно) условия и заключения теоремы, уточнение значения параметров. В рассматриваемом примере изучения свойства арифметического квадратного корня в восьмом классе [4] его полная запись может быть следующей: Структура этого свойства имеет вид , по которому определяется вид теоремы: «теорема–тождество» [11, с. 49]. С появлением символической записи свойства можно считать действие по изучению теоремы реализованным, и далее «включается» следующее действие — поиск плана доказательства. Целенаправленный поиск доказательства утверждения — эвристическая, внутренняя деятельность ученика, внешнее проявление которой наблюдается умением ставить нужные вопросы и отвечать на них. Это общие вопросы, в методике преподавания математики они известны как составляющие рассуждения методом восходящего анализа [75].

Итак, нужно доказать истинность равенства.

– Что достаточно, чтобы утверждать истинность этого равенства? Ответ на вопрос будет сформулирован, благодаря выполнению действия «подведение под понятие» арифметического квадратного корня.

– Достаточно показать, что выражение является арифметическим квадратным корнем из выражения а·b, т.е. достаточно обосновать:

1) существование выражения и его неотрицательность ();

2. 

Составленный план доказательства показывает, что цель, породившая действие, достигнута, ход доказательства найден, и учащиеся переходят к выполнению следующего действия — осуществления доказательства.

Таблица 4

Условие	Обоснование	Заключение
1.	Следствие определения арифметического квадратного корня	существуют
2.	Определение арифметического квадратного корня
3.	Правило умножения неотрицательных чисел
4. ()2	Степень произведения	()2 = ()2·()2
5.()2, , ()2,	Следствие определения арифметического квадратного корня	()2 = а; ()2 = b
6. ()2 = =()2 · ()2; ()2 = а; ()2 = b	Подстановка значений выражений
7. ,	Определение арифметического квадратного корня

В таблице 4 представлено полное, подробное рассуждение (цепочка силлогизмов), являющееся доказательством этого свойства. Ученик должен понимать суть приведенного доказательства, осознавать каждый этап этого рассуждения. Во внешних действиях этот процесс проявляется в «свернутом» виде. Еще более свернуто доказательство теоремы, представленное в учебнике [4, 80]. К моменту изучения свойств арифметического квадратного корня учащиеся должны уже овладеть деятельностью по доказательству теоремы. Формирование ее, убеждение в необходимости доказательств и обучение действиям, составляющим этот вид математической деятельности учащихся, в настоящее время приходится на 5-6 классы по некоторым программам обучения [37, 38].

Однако в большинстве своем формирование указанного вида деятельности при обучении математике осуществляется в начале изучения систематического курса алгебры и геометрии. Причем традиционный курс алгебры седьмого класса представлен в основном изучением целых выражений, тождественных преобразований одночленов и многочленов. Теоремы, в которых раскрываются свойства степени с натуральным показателем, формулы сокращенного умножения, по структуре заметно отличаются от теорем курса геометрии. Если первые геометрические теоремы импликативны, то теоремы традиционного курса алгебры имеют вид теорем – тождеств. Поэтому формирование знаний о теореме и ее структуре следует выполнять и при изучении теорем курса алгебры, и при изучении геометрии. Только в том случае, когда в курсе алгебры седьмого класса при изучении числовых выражений рассматриваются свойства числовых неравенств, имеющие импликативную структуру [104, с. 22], можно выделять условие и заключение теоремы, подчеркивая общность математических предложений — теорем.

Как видно из примера (табл. 4), построение доказательства основано на умении учащихся выполнять «подведение под понятие» и «выведение следствий». Еще раз отметим важность организации полноценной деятельности по изучению понятия (в данном случае — понятия «доказательства»), и в самом начале обучения школьников доказательству утверждения – иллюстрации сути доказательства. Примеры дедуктивных рассуждений при изучении первых теорем курса геометрии приведены выше (см. с. 14, 74). Опыт показывает, что «свернуть» полное дедуктивное рассуждение уместно после изучения первого признака равенства треугольников. Приведем еще раз пример модели дедуктивного рассуждения в обучении: доказательство первого признака равенства треугольников.

Дано: АВС (*), А1В1С1(**), АВ=А1В1 (***), АС=А1С1(****), А=А1(*****), (рис.25). Доказать: АВС=А1В1С1.

С С1 А В А1 В1 Рис. 25

Эта теорема, как правило, пятая в курсе планиметрии [101], может быть эффективно использована в качестве средства формирования действия «осуществление доказательства» ДИУ. К этому моменту данное действие в основном оказывается сформированным у большинства учащихся, у всех семиклассников, по крайней мере, на уровне представления. Краткость изложения доказательства в указанном учебнике, с одной стороны, и трудность доказательства, с другой, служат убедительной мотивацией всех учащихся в проведении аргументированного полного рассуждения при изучении теоремы, а используемое средство иллюстрирует его значимость и результативность в обучении школьников доказательству. Систематическое планирование осуществления этого учебного действия способствует воспитанию познавательной привычки к полному обоснованию истинности утверждения. Семиклассники адекватно оценивают приведенное рассуждение — доказательство признака равенства треугольников (см. ниже табл. 5). Большая посылка «свойство верного числового равенства» — суть свойство транзитивности отношения равенства. Таким образом, формирование действия «осуществление доказательства» ДИУ считается состоявшимся и можно свернуть дедуктивное рассуждение, используя сложившееся традиционное оформление доказательство в форме «основание» – «тезис» [130, с. 65].

Доказательство: Таблица 5
№	Малая посылка	Большая посылка		Утверждение
1	АВС (*), А1В1С1(**)	Аксиома существования треугольника, равного данному (рис. 25 а)		АВС=А1В2С2, В2 лежит на [А1В1), а С2 лежит в одной полуплоскости с С1 относительно (А1В1)
2	АВС=А1В2С2	В равных треугольниках соответствующие стороны и углы равны		АВ=А1В2 , АС=А1С2 , ВАС=В2А1С2
3	АВ=А1В2, АВ=А1В1 (***)	Свойство верного числового равенства		А1В1 =А1В2
4	А1В1 =А1В2	Аксиома откладывания равных отрезков (рис. 25 б)		В2 ≡В1, т.е. вершина В2 совпадает с вершиной В1
	С1 С2 С1 С2 А1 В1 В2 А1 В1(В2) Рис. 25 (а) Рис. 25 (б)
5	ВАС = В2А1С2, А = А1 (*****)		Свойство верного числового равенства	В2А1С2 = В1А1С1
6	В2А1С2 = В1А1С1 (рис. 25 б)		Аксиома откладывания равных углов	А1С2≡А1С1, т.е. лучи А1С2 и А1С1 совпадают и С2 лежит на А1С1 (рис. 25 в)
	С2 С1 С1(С2) А1 В1(В2) А1 В1(В2) Рис. 25 (в) Рис. 25 (г)
7	АС=А1С2, АС=А1С1 (****)		Свойство верного числового равенства	А1С2=А1С1
8	А1С2=А1С1		Аксиома откладывания равных отрезков	Вершина С2 совпадает с вершиной С1 (рис. 25 г)
9	АВС=А1В2С2, А1В1С1=А1В2С2		Свойство верного числового равенства	АВС=А1В1С1, что и требовалось доказать

Положение о формировании познавательного инструментария учащихся (см. с. 33) требует, чтобы для осуществления действия поиска доказательства ученик знал его смысл¹⁷ и операциональный состав (см. выше с. 89 и ниже с. 95). Аналогично для формирования действия осуществления доказательства учащиеся должны знать, что такое доказательство и как его построить. «Открытие» доказательства учащимися требует знания ими процедуры дедуктивного выведения из условия теоремы ее заключения, а для доказательства формулы — выведения истинности утверждения, заключенного в ней (см. с. 64).

Если предыдущее действие реализовано в полном объеме, т.е. посредством рассуждения методом восходящего анализа поиск достаточных условий доведен до условия теоремы, то теорема, доказана¹⁸ (или задача решена). В случае, когда найдена идея доказательства, данное действие выполняется синтетическим методом. Однако формирование действия доказательства утверждения, одного из составляющих познавательного инструментария, которым должен овладеть каждый ученик, следует начинать (и при необходимости постоянно к нему обращаться) с дедуктивного вывода.