2. Логические действия над понятием

Математика — это классификация и

изучение всех возможных закономерностей.

У.У. Сойер

Рассмотренные выше два вопроса относятся к логическому действию «определение понятия». Сущность другого логического действия — «подведение под понятие», методика его формирования достаточно подробно представлена Н.Ф. Талызиной [128, с. 196]. Поэтому далее остановимся подробнее на действиях «классификация понятия» и «обобщение понятия».

Классификация понятия как действия, направленного на овладение понятием, в контексте с введением нового понятия в курсах методики преподавания математики не выделяется [20, 40, 41, 68, 75, 113, 126]. Поэтому в данном исследовании, реализуя деятельностный подход в обучении, мы рассматриваем классификацию понятия как действие, которым должен владеть каждый школьник при работе с математическими понятиями. Классификация понятия выполняется сразу при введении понятия, после его определения и первичного усвоения понятия посредством действий подведения под понятия и выведения следствий или иногда в ходе мотивации деятельности «введение понятия». Значение этого действия в структуре деятельности «введения понятия» достаточно убедительно характеризует Н.Ф. Талызина, например, в статье «Что значит знать?» [127].

Классификационные схемы того или иного понятия, иллюстрируя многообразие видов данного понятия, показывают учащимся перспективу изучения предмета, с одной стороны, а с другой – обращение к ним способствует формированию системы знаний, представлений о родовых и видовых понятиях.

Приведем примеры классификации понятий. Например, классификация понятия «угол» по основанию «сравнение меры угла с 90^º» может быть выполнена учащимися седьмого класса уже в начале изучения курса геометрии делением на острые, тупые, прямой и развернутый. Однако, несмотря на то что эти виды углов в учебниках выделяются, явная классификация не проводится.

Приведём примеры классификационных схем понятия «треугольник»:

а) основание классификации — виды углов треугольника (рис. 14):

		треугольник
остроугольный		тупоугольный		прямоугольный

Рис. 14

б) основание классификации — наличие равных сторон (рис. 15):

		треугольник
равнобедренный				разносторонний

равнобедренный неравносторонний

равносторонний

Рис. 15

Классификация понятия «многоугольник» проста (рис. 16), но в традиционном курсе геометрии также явно не рассматривается.

Рис. 16

Важнейшее понятие курса алгебры «выражение» может быть классифицировано различными способами [67, 126]. Один из них приведен на рис. 6 (с. 37).

Если логическим действием классификации понятия его объем делится на подмножества — виды понятия, то обобщение как мысленное выявление некоторых свойств объектов, объединяющих их, и переход на более высокую ступень абстракции позволяет выполнить восхождение от частного понятия к общему. Так, обобщением понятия степени с натуральным показателем является понятие степени с действительным показателем. В этом случае говорят об обобщении понятия путем расширения числового множества. При изучении арифметической прогрессии задаётся первый член прогрессии а₁ и разность d. Можно найти каждый член прогрессии, прибавляя к предыдущему число d:

a₂ = a₁+ d, a₃ = a₁+ d·2, a₄ = a₁+ d·3 и т.д. Выявление закономерности получения каждого последующего члена позволяет получить формулу a_n=a₁+d·(n-1), где число n – это переменная, которая представляет номер искомого элемента. В данном случае говорят об обобщении понятия путем замены констант переменной. При изучении понятий , и т.п. сначала рассматриваются синус, косинус острого угла, затем — мерой угла от 0º до 180º, далее вводится понятие угла поворота, два направления поворота. В подобных случаях говорят об обобщении понятия путем отказа от ограничений.

Обобщение помогает сохранить количество необходимой информации, заменяя знания множества сходных случаев знанием общего принципа. Как научный метод обобщение является эффективным приёмом открытия фактов, поиска доказательства теоремы, способа решения задачи, а также используется при изложении знаний в школьном курсе математики. В деятельности «введение понятия» действие обобщения применяется в случае индуктивного изложения содержания обучения математике. Например, при введении таких понятий, как степень с натуральным показателем, арифметический квадратный корень выполнение действия обобщения понятия позволяет раскрыть перспективу изучения алгебры, показать идеи построения фрагментов математической теории. Понимание сущности строения теории, перспектив изучения предмета формирует положительное отношение к учению — мотивацию учащихся.

«Выведение следствий определения» как логическое действие отмечается в некоторых учебных пособиях по методике обучения математике в школе [68, 130, 152 и др.].