2. Структура действий деятельности «изучение утверждений»

Изучение утверждения как деятельность состоится в результате выполнения пяти действий (см. с. 89), каждое из которых соответствует частной цели, определенной мотивом ДИУ:

1. «открыть» новое свойство изучаемого понятия;

2. сформулировать открытое свойство как математическое предложение;

3. «открыть» доказательство истинности сформулированной теоремы;

4. выполнить доказательство;

5. исследовать результат деятельности.

Первая цель задает действие «обнаружение свойства, его формулировка». Его структуру составляют операции:

• выдвижение гипотезы (индивидуально или в групповой работе на основе выполнения упражнений, подводящих к «открытию» нового свойства изучаемого объекта);

• обобщение результатов индуктивного поиска нового свойства;

• формулировка теоремы.

Вторая цель задает действие «изучение структуры математического предложения». Это действие реализуется следующей совокупностью операций:

• формулировка предложения в логической форме (выделение условия и заключения для импликативной теоремы);

• установление вида теоремы;

• символическая запись теоремы (конкретизация формулировки в принятых символических обозначениях, в том числе выполнение чертежа).

Третья цель задает действие «поиск плана доказательства». Целенаправленным поиском доказательства теоремы является, как известно, восходящий анализ. Схема восходящего анализа: A_n A_n-1 … A₂ A₁ S, где A_n – доказываемая теорема; A_n-1, …, A₁ – достаточные условия, основанные, как правило, на действии «подведение под понятие (или под другой факт теории)»; S –совокупность истинных предложений: условие импликативной теоремы или компоненты предиката (см. с. 60). Поэтому совокупностью операций, составляющих это действие, является формулирование достаточных условий A_n-1, …, A₁. Причем идея доказательства может быть открыта на каком-либо A_k достаточном условии, и поиск плана доказательства завершается его формулировкой.

Четвертая цель задает действие «доказательство утверждения». Построение силлогизмов — операции, составляющие действие «доказательство утверждения». Как видно из примера, эти операции представляют собой «подведение под понятие» и «выведение следствий». Их упорядоченный синтез – доказательство. Этот момент убедительно показывает взаимосвязь и взаимообусловленность двух видов математической деятельности учащихся. Действия ДВП способствуют формированию действия «доказательство утверждения», а формирование этого действия ДИУ неявно (а можно при необходимости его использовать явно) служит мотивацией ДВП, изучаемых в дальнейшем.

Как следует из вышесказанного (с. 64 – 67, 89 – 94), операциями, составляющими это действие, являются дедуктивные выводы — построение цепочек силлогизмов в их полном или кратком виде. Как отмечено выше, эти операции осуществляются на основе правил логического вывода. Их синтез представляет доказательство утверждения.

Наконец, пятая цель задает действие «изучение результатов деятельности». Это действие выполняется на основе сформированных у учащихся общих действий контроля и оценки и реализуется следующей совокупностью операций:

• выведение частных следствий;

• выведение следствий теоремы или ее обобщение;

• поиск различных способов доказательства теоремы.

«Выведение частных следствий» в практике обучения принято называть первичным закреплением. Это решение задач с дидактической функцией. В условиях таких задач обычно задается ситуация, аналогичная теореме. Использование изученной теоремы в качестве обоснования позволяет получить требуемое заключение (тезис). Например, для изучения результатов деятельности по изучению свойства арифметического квадратного корня (см. с. 89) фигурируют различные вариации значений переменных а и b и выражений, . Как правило, такие упражнения достаточно полно представлены в учебниках.

Выведение следствий теоремы и ее обобщение основано на рассмотрении частных случаев, т.е. связано с научными методами индукции, классификации, конкретизации. Различные способы доказательства теоремы получаются при подборе разных достаточных условий в структуре метода восходящего анализа, если осуществляется оценка найденного способа доказательства.

Выделение структуры деятельности по изучению утверждений, операционального состава действий, посредством которых она осуществляется, выпукло показывает тот познавательный инструментарий, которым должны овладеть учащиеся. Это «знания о знаниях». Во-первых, ДИУ будет сформирована у школьников только в том случае, если они овладеют знаниями:

• о теореме как утверждении, истинность которого доказана;

• о видах теорем, полученных классификацией по их логической структуре;

• о доказательстве как цепочке истинных умозаключений, идущих от исходных посылок к доказываемому тезису.

Во-вторых, формирование ДИУ зависит от знаний учащихся о методах анализа (восходящего и нисходящего) и синтеза, а также об индуктивных и дедуктивных умозаключениях и от умения их применять (сформированность соответствующих компетенций). Наконец, овладение отмеченными знаниями и методами невозможно без использования математического языка: символов, обозначающих понятия, отношения и операции.