11.Метод множителей Лагранжа для задач нелинейного и выпуклого программирования.Теорема Куна-Такера

Функция f определена множестве x. Функция наз. Выпуклой, если для люб. 2 точек отрезок, проведенный между ними, лежит внутри множества x.

F(x)- выпукл. Ф-ция, определенная на множестве x

Теорема Куна- Такера

Задача 1. Найти min f(X) при (X) 0, i=l,m

x>=0

Т.о. x-вектор, x= (x1,x2,…xn)

Для этой задачи сост-ся ф-ция Лагранжа

m

L (x,λ)= f(x)+  λi i(x)

i=1

(λi-множитель Лагранжа)

(x*, λ*)- будем называть типовой точкой для функции Лагранжа, если выполняется след. Неравенство

L (x*,λ) L (x*,λ*) L (x,λ*)  x, λ(*) (*)

λ= (λ1, λ2,…, λm)

12 Формулировка теоремы Куна-Такера

Пусть x>=0 : i(x) 0, i= 1,m;

Чтобы х* была решением задачи 1, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая т. Х*, которая уд-ла (*)

Если потребовать, чтобы функция f(x) и (х) были дифференц-мы, то теорема Куна-Такера м.б. сформулирована след. Образом:

δL (x*,L*) /δx 0

x* умножить δL(x*,L*)/ δx=0

x*0

δL (x*,λ*) / δλ  0

λ* умножить δL(x*, λ*) / δλ=0

λ0

13.Градиентные методы для задач нелинейного и выпуклого программирования.

Градиентные методы представляют собой одну из наиболее распространенных групп методов поиска безусловного экстремума. Все  они используют значения градиента функции .

Различают градиентные методы 1-го и 2-го порядка. Согласно градиентным методам 1-го порядка при поиске экстремума функции используются значения ее первых производных. Согласно градиентным методам 2-го порядка при поиске экстремума функции наряду с первыми, используются значения ее вторых производных.

14.Матричные игры и методы их решения.

Теория игр прим-ся в условиях конфликтной ситуации: 2 и > участников, каждый из кот-х стремится максим-ть свою выгоду за счет др участника. Под термином игра поним-ся совок-ть предварительно оговор-х партий и правил.

Пусть в игре участвует n игроков: P1, P 2, … P n. Как должен вести игру каждый из них чтобы получить макс-но выгодный доход для себя?

V1,V2,…Vn є R. Если Vj >0 j-й игрок выиграл, Vj < 0 проигрыш j-го игрока, Vj =0 ничья.

Если 2 игрока – то игра парная, если n>2, то множестве-я. В завис-сти от стратегии игры бывают конечными и бескон-ми. Стратегии – последовательность действий , однозначно определяющая деят-ость игроков.

- кооперативные (коалиции созданы заранее)

- бескоалиционные

- коалиционные (игроки могут вступать в соглашения и организ-ть коалиции)

По виду выигрышей игры подразделяются на матричные, выпуклые и другие. Матричная игра 2-х игроков задается матрицей А.

а11 а12 … а13

А= а21 а22 ... а23

…

а31 а32 … а33

элементы – действит-е числа, строки – стратегии 1-го игрока, столбцы – стратегии 2-го игрока. 1-й игрок играет на макс-е выгоды, 2-ой на миним-й проиграш.

α=max min aij

i j

β=min max aij Стратегии на пересечении min и max наз-ся минимаксимумами.

j i

В матричной игре всегда α≤β. Матричные игры, для кот-х α=β, решаются, при этом α=β=γ (γ- цена).