Вопросы к зачету по курсу "Экономико-математические методы и модели"

1. Линейные оптимизационные модели экономических задач.

2. Основные виды записи задачи линейного программирования (ЛИ). Способы преобразования.

3. Геометрическая интерпретация и основные свойства задачи ЛИ. Графическое решение задачи ЛП.

4. Симплекс-метод численного решения задач ЛП.

5. Признак оптимальности опорного плана задачи ЛП.

6. Основные теоремы двойственности в ЛП и их экономическое содержание.

7. Транспортная задача и ее свойства.

8. Метод потенциалов решения транспортной задачи.

9. Признак оптимальности опорного плана транспортной задачи.

10. Задачи нелинейного и выпуклого программирования. Математические основы выпуклого программирования.

11. Метод множителей Лагранжа для задач нелинейного и выпуклого програм­мирования.

12. Теорема Куна-Таккера.

13. Градиентные методы для задач нелинейного и выпуклого программирования.

14. Матричные игры и методы их решения.

15. Производственная функция. Основные понятия и ее свойства.

16. Общая схема межотраслевого баланса. Основные балансовые соотношения. Математическая модель межотраслевого баланса. Решение системы уравнений межотраслевого баланса.

17. Коэффициенты полных и косвенных затрат. Коэффициенты полных затрат факторов производства.

18. Построение системы цен на основе межотраслевого баланса.

19. Модель внешнеэкономических связей.

20. Оптимизационные модели на основе межотраслевого баланса.

21. Агрегирование модели межотраслевого баланса.

22. Модель прогноза межотраслевых связей.

23. Простейшая динамическая модель межотраслевого баланса.

24. Оптимизационная динамическая модель межотраслевого баланса,

25. О природе моделей экономического роста.

26. Модель экономического роста Домара.

27. Модель экономического роста Харрода.

28. Модель экономического роста Солоу,

29. Модель расширяющейся экономики Неймана.

30. Общие понятия о равновесии.

31. Модель общего равновесия Вальраса.

32. Модель макроэкономического равновесия Модильяни.

33. Модель макроэкономического равновесия Кейнса.

34. Условия оптимальности по Парето.

35. Признаки разрешимости многокритериальных задам дискретной оптимизации с помощью линейной свертки критериев.

36. Трехкритериальная модель оптимизации отраслевой структуры белорусской экономики.

Профессор, доктор

физ.-мат. наук М.К. Кравцов

1. Линейные оптимизационные модели эконом. Задач.

Понятие линейного программирования. Линейное программирование – раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда – необходимость разработки новых методов.

Задача о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объединение и т.д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать n различных видов продукции (товаров), известных под номерами, обозначаемыми индексом j (j=1,..,n). Ее будем обозначать П_j. Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами R_i. Пусть их число равно m; припишем им индекс i (i=1,..,m). Они ограничены, и их количества равны соответственно b₁,…,b_i,…,b_m условных единиц. Таким образом, b = (b₁,…,b_i,…,b_m) – вектор ресурсов. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации c_j (j=1,..,n), т.е. с = (c₁,…,c_j,…,c_n) – вектор цен. Известны также технологические коэффициенты a_ij, которые указывают, сколько единиц i–го ресурса требуется для производства единицы продукции j–го вида. Матрицу коэффициентов a_ij называют технологической и обозначают буквой А. Имеем А = [a_ij]. Обозначим через х=(x₁,…,x_j,…,x_n) план производства, показывающий, какие виды товаров П₁,..., П_j,...,П_n нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Так как c_j – цена реализации единицы j–й продукции, цена реализованных x_j единиц будет равна c_jx_j, а общий объем реализации

Z= c₁x_1+…+ c_n x_n

Это выражение – целевая функция, которую нужно максимизировать.

Так как a_ijx_j – расход i–го ресурса на производство x_j единиц j–й продукции, то, просуммировав расход i–го ресурса на выпуск всех n видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить b_i (i=1,..,m) единиц:

a_i1x_i+…+a_ijx_j+…a_inx_n≤b_i

Чтобы искомый план х=(x₁,…,x_j,…,x_n) был реален, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объемы x_j выпуска продукции:

x_j≥0 (j=1,..,n)

Таким образом, модель задачи о наилучшем использовании ресурсов примет вид: найти

(1.1)

при ограничениях:

(i=1,..,m) (1.2)

x_j≥0 (j=1,..,n) (1.3)

Так как переменные x_j входят в функцию z(x) и систему ограничений только в первой степени, а показатели a_ij, b_i, c_j являются постоянными в планируемый период, то (1.1)–(1.3) – задача линейного программирования.

Задача о выборе оптимальных технологий.

В задаче о наилучшем использовании ресурсов определяется оптимальный план выпуска продукции. Пусть при производстве какого–то общественно необходимого продукта используется n технологий. При этом требуется m видов ресурсов, заданных объемами b_i (i=1,..,m). Эффективности технологий, т. е. количество конечной продукции (в ден. ед.), производимой в единицу времени по j–й (j=1,..,n) технологии, обозначим c_j. Пусть, далее, a_ij – расход i–го ресурса в единицу времени по j–й технологии. В качестве неизвестной величины x_j примем интенсивность использования j–й технологии, т. е. время, в течение которого продукция производится по j–й технологии. Пренебрегая временем переналадок, необходимым для перехода от одной технологии к другой, получаем следующую математическую модель задачи: найти план интенсивностей использования технологий х=(x₁,…,x_j,…,x_n), обеспечивающий максимум выпуска продукции в стоимостном выражении:

(1.4)

при ограничениях на лимитируемые ресурсы

(i=1,..,m) (1.5)

и условии неотрицательности

x_j≥0 (j=1,..,n) (1.6)

Задача о смесях.

В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигают на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи о диете. Имеются пищевые продукты, известные под номерами 1,2,...,n. Они содержат различные питательные вещества, обозначаемые номерами 1,2,...,m (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица j–го продукта содержит a_ij единиц i–го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее b_i единиц i–го питательного вещества. Обозначим через c_j стоимость единицы продукта j–го вида. Требуется выбрать рацион минимальной стоимости, содержащий необходимые количества питательных веществ. План задачи – это количества x_j продуктов каждого вида, обеспечивающие необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты.

Математическая модель задачи: найти

(1.7)

при ограничениях:

(i=1,..,m) (1.5)

x_j≥0 (j=1,..,n) (1.6)

Задача о раскрое материалов.

Суть задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект– заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму. Рассмотрим простейшую модель раскроя по одному измерению. Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного программирования.

Модель задачи раскроя по одному измерению длинномерных материалов (прутков, труб, профильного проката и др.) может быть сформулирована так. Пусть имеется N штук исходного материала, длина каждой штуки равна L. Нужны заготовки m видов, длины которых равны l_i (i=1,..,m). Известна потребность в заготовках каждого вида, она равна b_i. Изучение вопроса раскроя (построение технологической карты раскроя) показывает, что можно выделить n приемлемых вариантов раскроя исходного материала длиной L на заготовки длиной l_i. Обозначим через a_ij количество заготовок i–го вида, получаемое при раскрое единицы исходного материала по j–му (j=1,..,n) варианту, c_j – отходы при раскрое единицы исходного материала по j–му варианту. План задачи х=(x₁,…,x_j,…,x_n), где x_j – количество единиц исходного материала, планируемое к раскрою по j–му варианту.

Функция цели – минимум отходов, получаемых при раскрое:

(1.10)

при ограничениях: на число единиц исходного материала

(1.11)

на удовлетворение ассортиментного спроса потребителей

(i=1,..,m) (1.12)

и условии неотрицательности

x_j≥0 (j=1,..,n) (1.13)