ЛитературА (основная)

1. Балабанов А.А., Ревякин А.М., Терещенко А.М. Высшая алгебра для экономистов. Часть 1. Элементы аналитической геометрии. Учебное пособие. М.: МГАДА, 2007.- 59 с.

2. Балабанов А.А., Ревякин А.М., Терещенко А.М. Высшая алгебра для экономистов. Часть 2. Элементы теории множеств, бинарные отношения и комбинаторика. Учебное пособие. М.: МГАДА, 2006.- 49 с.

3. Балабанов А.А., Ревякин А.М., Терещенко А.М. Высшая алгебра для экономистов. Часть 3. Линейная алгебра. Учебное пособие. М.: МГАДА, 2007.- 171 с.

4. Балабанов А.А., Ревякин А.М., Терещенко А.М. Высшая алгебра для экономистов. Часть 4. Лабораторный компьютерный практикум по вычислительным методам линейной алгебры с применением пакета MATLAB. Учебное пособие. М.: МГАДА, 2006.- 26 с.

5. Ревякин А.М., Терещенко А.М. Высшая алгебра для экономистов. Часть 5. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии. Сборник задач. М.: МГАДА, 2010.- 91 с.

6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник. В 2-х частях. Ч.1. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 384 с.

7. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 476 с.

8. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с.

Литература (дополнительная)

1. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1979.

2. Ревякин А.М. Высшая алгебра. Учебное пособие для экономических специальностей. - М.: МИЭТ, 2007.

3. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.

4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1970.

5. Сборник задач по математике для втузов. Часть 1./ Под ред. А.С.Поспелова и А.В. Ефимова. М.: Физматлит, 2008.

Интернет ресурсы

Сайт www.rutracker.org/forum/view forum.php содержит PDF-файлы многих учебников и задачников по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Задания для самостоятельной работы Решение задач. Задание предоставляется индивидуально.

Тест 1.

Тема «Матрицы, определители, комбинаторика»

№	Формулировка вопроса	Варианты ответа
1	Даны матрицы и Тогда имеет вид	А) Б) В) Г)
2	Произведение матриц с размерностями и возможно при	А) Б) В) Г)
3	Даны матрицы и Тогда матрица равна	А) Б) В) Г)
4	Число инверсий в перестановке равно
5	Даны векторы Тогда скалярное произведение равно	А) 12: Б) 20: В) 17: Г) 8.
6	Определитель равен
7	Определители следующих матриц и равны, если	А) Б) В) Г)
8	Определитель равен при равном	А) 2; Б) 0; В) -2; Г) -3.
9	Определитель равен	А) -3; Б) -120; В) 0; Г) 8.
10	Решение системы линейных уравнений методом Крамера можно представить в виде	А) Б) В) Г)
11	Если являются решениями следующей системы линейных уравнений то значение выражения равно	А) 6; Б) -6; В) 5; Г) -5.
12	Если в результате прямого хода метода Гаусса получена следующая матрица то система является	А) несовместной; Б) совместной и неопределенной; В) совместной и определенной.
13	Если в результате прямого хода метода Гаусса получена следующая матрица то система является	А) несовместной; Б) совместной и неопределенной; В) совместной и определенной.
14	Если в результате прямого хода метода Гаусса получена следующая матрица то система	А) несовместна; Б) имеет единственное решение; В) имеет бесконечно много решений.
15	Расположите следующие матрицы в порядке возрастания их рангов:
16	Матрица не имеет обратной при	А) Б) В) Г)

ТЕСТ 2.

Тема «Системы линейных уравнений, метод Гаусса»

№	Формулировка вопроса	Варианты ответа
1	Даны матрицы и Тогда матрица будет обратной к матрице при равном
2	Пусть Тогда след ее обратной матрицы равен
3	Может ли произведение ненулевых матриц равняться нулевой матрице? Выберите правильный ответ.	А) да может; Б) нет.
4	Верно ли, что если и - квадратные невырожденные матрицы, то Выберите правильный ответ.	А) да; Б) нет.
5	Верно ли, что произведение симметричных матриц всегда является симметричной матрицей? Выберите правильный ответ.	А) да; Б) нет.
6	Верно ли утверждение, что если для матриц их произведение равно нулевой матрице, то либо матрица либо матрица является нулевой матрицей. Выберите правильный ответ.	А) да; Б) нет.
7	Верно ли, что если и - матрицы одинакового порядка, то Выберите правильный ответ.	А) да; Б) нет.
8	Пусть и - квадратные матрицы. Верно ли, что Выберите правильный ответ.	А) да; Б) нет.
9	Пусть матрица. Верно ли, что Выберите правильный ответ.	А) да; Б) нет.
10	Верно ли, что если - перестановочная матрицы, то матрица равна единичной матрице? Выберите правильный ответ.	А) да; Б) нет.
11	Даны векторы Тогда модуль вектора равен
12	Даны векторы Тогда модуль вектора равен
13	Даны векторы Тогда модуль вектора равен
14	Даны координаты вершин тетраэдра в правой прямоугольной системе координат Тогда объем тетраэдра равен
15	Система линейных алгебраических уравнений (пять уравнений с пятью неизвестными) совместна и неопределена. Выберите правильные утверждения	А) Б) В) ранг матрицы равен 5; Г) ранг матрицы меньше 5; Д) столбец не является линейной комбинацией столбцов матрицы .
16	Найти сумму решений следующей системы линейных уравнений
17	Пусть определитель матрицы равен 0,25. Тогда существует обратная матрица и ее определитель равен
18	Ранг матрицы равен
19	Пусть Укажите верные утверждения.	А) - нулевая матрица; Б) ранг матрицы равен 1; В) ранг матрицы равен 0; Г) столбцы матрицы линейно независимы; Д) строки матрицы линейно зависимы.
20	Пусть где Главные угловые миноры матрицы Тогда след матрицы равен
21	Дана матрица Установите соответствие между матрицами и если равно	А) Б) В) Г) Д) Е) Ж)
22	Даны матрицы и Установите соответствие между матрицами 1. 2. 3. 4. 5. и	А) 6; Б) 5; В) Г) Д) Е) Ж)З) И) К)

ТЕМЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Базовый уровень.

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений и разложение для матрицы коэффициентов.

2. Нахождение обратной матрицы.

3. Решение матричных уравнений тремя способами.

4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду и специальные разложения матриц.

5. Подсчет числа способов по комбинаторным формулам.

6. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

7. Проверка свойств бинарных отношений.

Повышенный уровень.

8. Решение систем методом наименьших квадратов.

9. Приведение базиса к ортонормированному базису и разложение.

10. Итерационные методы решения систем линейных уравнений.

11. Разложение Холецкого и его приложения.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.

Контрольная работа № 1.

Базовый уровень.

1. Линейная комбинация матриц.

2. Умножение матриц.

3. Вычисление определителя по определению.

4. Вычисление определителей.

5. Нахождение ранга матрицы.

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

7. Исследование систем линейных уравнений.

Повышенный уровень.

1. Решение матричного уравнения

2. Нахождение обратной матрицы

Контрольная работа № 2.

Базовый уровень.

1. Угол между векторами.

2. Нахождение объема тетраэдра.

3. Уравнение прямой по двум точкам.

4. Уравнение плоскости по трем точкам.

5. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

6. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

7. Угол между плоскостями.

Повышенный уровень.

1. Расстояние между скрещивающими прямыми в пространстве.

2. Приведение общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду.

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Матрицы. Основные операции с матрицами: умножение матрицы на число, Сложение и умножение матриц.

2. Определители квадратных матриц. Перестановки и транспозиции. Теорема об изменении четности перестановки при транспозиции. Определители n-го порядка. Свойства определителей.

3. Лемма о знаке члена определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

4. Теорема о сумме произведения элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда.

5. Системы n линейных уравнений c n неизвестными. Правило Крамера.

6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Матричная запись. Критерий совместности системы линейных уравнений.

7. Ранг матрицы. Теорема о неизменности ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Понятие о линейной зависимости. Теорема о ранге матрицы.

8. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений и разложение матриц в произведение треугольных. LU-разложение и его применение для решения систем линейных уравнений.

9. Обратная матрица и ее приложения. Методы нахождения обратных матриц.

10. Однородные системы линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решения. Фундаментальная система решений.

11. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств. Размерность и базис. Матрица перехода от "старого" базиса к "новому".

12. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе линейного пространства. Действия над линейными операторами.

13. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

14. Собственные числа и собственные векторы. Характеристический многочлен и его инвариантность относительно выбора базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

15. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Теорема Пифагора. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Ортогональный базис.

16. Метод наименьших квадратов для решения систем перенасыщенных систем. Система нормальных уравнений.

17. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Метод Лагранжа. Закон инерции. Положительно определенные матрицы. Критерии положительной определенности.

18. Скалярные и векторные величины. Линейные действия над векторами. Скалярное произведение двух векторов и их приложения.

19. Уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой в отрезках. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

20. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности. Угол между плоскостями.

21. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой и приведение их к каноническому виду. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

22. Расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой в пространстве.

23. Эллипс, гипербола, парабола (определения и вывод их канонических уравнений).

Задачи к дифференцированному зачету берутся из сборника Ревякин А.М., Терещенко А.М. Высшая алгебра для экономистов. Часть 5. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии. Сборник задач. М.: МГАДА, 2010.- 91 с.

Учебная дисциплина