7. Линейная алгебра

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: доктор технических наук,

профессор ТЕРЕЩЕНКО АНАТОЛИЙ МИХАЙЛОВИЧ

Краткая программа лекционого курса

Лекции 1-2. Матрицы и основные действия с ними. Матричная запись систем линейных уравнений. Перестановки и транспозиции. Теорема об изменении четности перестановки при транспозиции. Определители n-го порядка. Свойства определителей. Лемма о знаке члена определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Теорема о сумме произведения элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда.

Лекция  3. Системы n линейных уравнений c n неизвестными. Правило Крамера.

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений и разложение матриц в произведение треугольных. LU-разложение и его применение для решения систем линейных уравнений.

Лекция 4. Критерий совместимости системы линейных уравнений. Ранг матрицы. Теорема о неизменности ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Понятие о линейной зависимости. Теорема о ранге матрицы.

Лекция 5. Однородные системы линейных уравнений. Необходимые и достаточное условия для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями. Фундаментальная система решений.

Лекция 6. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения.

Положительно определенные матрицы. Критерии положительной определенности. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Метод Лагранжа.

Лекции 7-8. Элементы аналитической геометрии. Уравнения прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Уравнения плоскости в пространстве. Общее уравнение прямой и приведение их к каноническому виду. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости. Расстояния от точки до плоскости в пространстве. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола.

КРАТКАЯ ПРОГРАММА СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ

Занятие 1. Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Правило Крамера.

Занятие 2. Действия с матрицами.

Занятие 3. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Разложение матрицы в произведение треугольных матриц.

Занятие 4. Ранг матрицы. Понятие о линейной зависимости. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Занятие 5. Обращение квадратных матриц с помощью элементарных преобразований. Контрольная работа.

Занятие 6. Положительно определенные матрицы. Критерии положительной определенности. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Метод Лагранжа.

Занятие 7. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Каноническое уравнение прямой, нормальное уравнение плоскости.

Занятие 8. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола. Контрольная работа.

Занятие 9. Евклидовы пространства. Метод наименьших квадратов для решения перенасыщенных систем. Нормальные уравнения и методы их решения.