24 Понятие m-мерной вектор-функции и матрицы Якоби m-мерной вектор-функции

Функция g(x) наз m-мерной вектор-функцией,если ее значения представляют собой m-мерные вектора, т.е. g(x)=g₁(x)

g₂(x)

……

g_m(x)

М-цей Якоби Rg(z) вектор-функции g(x) в точке z наз матрица Rg(z) = (rij)_m×n, эл-ты кот определяются как: r_ij=g_i(z)/x_j (i=1,m; j=1,n)

25 Понятие производной по направлению. Теорема о производной по направлению.

Пусть URⁿ,произвольный вектор единичной длины, т.е. U=1

Производной ф-ии f(x) в т. z по напр-ию вектора U наз величина

f(z)/U=lim_{t0 (t>0)} (f(z+tU)-f(z))/t

По сути f(z)/U – это скорость изменения функции f(x) в точке z по направлению вектора U

Теорема о производной по направлению

Производная функции f(x) в точке z по направлению вектора U м.б. найдена по формуле:

f(z)/U=^Tf(z)*U =_i=1ⁿf’x_i(z)*U_i

26 Понятие градиента функции. Теорема о градиенте

Градиентом f(x) функции f(x) в точке z наз вектор, компонентами кот являются частные производные 1ого порядка функции ^Tf(x)=(f(x)/x₁, f(x)/x_2,… f(x)/x_n)

Теорема о градиенте

Градиент f(z) функции f(x) в точке z указывает направление наискорейшего роста функции f(x) в точке z, при этом max скорость роста функции равна модулю градиента:

max f(z)/U=|f(z)|

^URn

^{|U| =1}

27 Понятия множества уровня функции, касательной гиперплоскости к множеству уровня функции, вектора нормали к гиперплоскости.

Пусть Rⁿ-нек-е число.

Множеством уровня β функции f(x) наз множество всех точек xRⁿ, удовлетворяющих условию f(x)= β

В плоском (двумерном) случае когда n=2, множ-во уровня β наз линией.

В случае n=3 - поверхностью уровня β.

Касательной гиперплоскости к множеству уровня β функции f(x) в точке y из этого множества наз множество всех точек xRⁿ удовлетворяющих уравнению:

^Tf(y)*(x-y) = 0 (1)

при =2, касательная гиперплоскости является касательной к прямой.

при =3, обычной плоскостью.

Вектором нормали (нормалью) к гиперплоскости, задаваемой уравнением c^Tx=b, наз вектор c.

Вектор нормали ортогонален любому отрезку, лежащему в гиперплоскости. В случае n=2 и n=3 ортогональность означает перпендикулярность

Из уравнения (1) следует, что градиент f(y) функции f(x) является нормалью к касательной гиперплоскости к множеству уровня β = ^Tf(y)*у

28 Разложение Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть k^т = (k₁, k₂, … , k_m) – это вектор с целочисленными неотрицательными компонентами. Обозначим через [k] сумму его компонентов, т.е. [k] = k₁+ k₂+ … + k_m

Говорят, что функция φ₁(х) есть «О малое» по сравнению с φ₂(х) при х→0, если справедливо условие:

lim_x→0 (φ₁(х) / φ₂(х) ) = 0

Это соотношение означает, что φ₁(х) пренебрежительно мала по сравнению с φ₂(х) при х→0.

Расширенной записью этого является следующая: φ₁(х) = 0* (φ₂(х)). Это выражение означает, что φ₁ есть «О малое» по сравнению с φ₂.

Пусть f(x) - некоторая функция, где xRⁿ. Предположим, что эта функция дифференц-а в некоторой окрестности O_ в точке yRⁿ, причем имеет все частные производные вплоть до производных (m+1) порядка. Тогда справедлива формула Тейлора:

f(x)=_[k]=0^m 1/m! * (^[k]f(y)/x₁^k1x₂^k2…x_n^kn) * (x₁-y₁)^k1 (x₂-y₂)^k2… (x_n-y_n)^kn +0 (x-y^m) (1)

Величина 0(x-y^m) - остаточный член в форме Пеано.

Т.е. формула (1) есть разложение Тейлора функции f(x) в точке у с точностью до производных m-ого порядка с остаточным членом в форме Пеано.

В частности разложение Тейлора функции f(x) в точке y с точностью до производных 2ого порядка есть:

f(x)=f(y)+^Tf(y)(x-y)+1/2 * (x-y)^T H(y)(x-y)+0(x-y)² где H(y) – матрица Гессе ф-ии f(x) в точке y

В одномерном случае при n=1 формула Тейлора принимает вид:

f(x)=_k=0^m1/k! * f^[k](y)(x-y)^k + 0 (x-y)^m