32 Назначение и обоснование метода множителей Лагранжа.

В основе метода лежит тот факт, что в точке условного экстремума х^*Д градиент целевой функции f(x) д.б. ортогонален касательной гиперплоскости к области ограничений Д, определяемый системой ограничений g₁(x)=b₁ или g(x)=b

g₂(x)=b₂

………

g_m(x)=b_m

Это означает, что должны существовать такие числа ₁,₂,…_m для кот справедливо:

f(x^*) = _j=1ⁿ_j * g_j(x^*)

Т.е. градиент f(x^*) представим в виде линейной комбинации градиента функции ограничений, кот в свою очередь ортогональны множествам уравнений m_j = {g_i(x) = b_j} (j=1, m)ф-ии ограничений g_i(x)

33 Схема реализации метода множителей Лагранжа

Метод реализуется за 3 шага:

Шаг1. Рассматривается ф-ия Лагранжа

L(x,λ) = f(x) + λ^T(b – g(x)) = f(x) + _i=1ⁿ _j (b_i – g_i(x))

Где x^T = (x₁, x₂, …, x_n) – вектор инструментальных переменных множителей Лагранжа,

λ^T = (λ₁, λ₂, … , λ_m) – вектор множителей Лагранжа.

Шаг2. Определяются стационарные точки (х^*, λ^*) функции множителей Лагранжа. Для этого решается система уравнений, представляющая собой необходимые условия существования стационарной точки (все частные производные по аргументам функции Лагранжа равны 0)

∂L(x,λ) / ∂x_j = (∂f(x) / ∂x_j) - _i=1^m λ_i * (∂g_i(x) / ∂ x_j) = 0, j = 1, m

∂L / ∂ λ_i = b_i - g_i(x) = 0, i = 1, m

Эта система м.б. представлена в матричной форме:

f_х(x) - λ^T Rg(x) = 0

b – g(x) = 0

где Rg(x) – матрица Якоби вектор-функции g(x)

Шаг3. Определяется тип условного экстремума функции f(x) в найденных стационарных для функции Лагранжа точках. Для этого в рассмотрении вводится так называемая окаймленная матрица Гессе Q_B(x^*, y^*), имеющая блочную структуру:

Q_B(x^*, y^*) = 0_mxm Rg(x^*)

Rg^T(x^*) H(x^*, λ^*)

Где 0_mxm - нулевая матрица размера m на m (где m – число ограничений в задачах f(x)→ min (max)

g₁(x)=b₁

………

g_m(x)=b_m

Rg(x^*) – матрица Якоби

H(x^*, λ^*) = (h_ij)_mxn, где h_ij = ∂²L(x^*, λ^*) / ∂x_i ∂x_j – это матрица, эл-ты кот есть частные производные 2ого порядка функции Лагранжа по инструментальным переменным.

Тип экстремума следует из достаточных условий: точка х^* есть точка max функции f(x), если начиная с порядка 2m+1 главный и все последующие угловые миноры окаймленной матрицы Гессе образуют знакопеременный числовой ряд, причем знак первого члена этого ряда, т.е. главного минора М_2m+1 порядка 2m+1, равен совпадает со знаком (-1)^m+1. Точка х^* является точкой min функции f(x), если все главные миноры окаймленной матрицы Гессе, начиная с минора порядка 2m+1 имеют одинаковые знаки, определяемые знаком (-1)^m.

!!! Каждая стационарная точка обрабатывается отдельно.

34 Интерпретация множителей Лагранжа. Теорема Лагранжа.

Анализируя значения множителей Лагранжа можно получить доп ценную информацию о задаче. Во многом именно с этим связано широкое распространение метода.

Множители Лагранжа измеряют чувствительность оптимального значения f*=f(х*) целевой функции, к изменениям const-компонент в правой части ограничений.Что следуетет из теоремы.

Теорема Лагранжа

Пусть х* - решение задачи f(x)→ min (max)

g₁(x)=b₁

………

g_m(x)=b_m

а строки матрицы Якоби в точке х^*(Rg(x^*)) линейно независимы. Тогда существует единственный вектор множителей Лагранжа λ^*Т = (λ₁^*, λ₂^*, … , λ_m^*) удовлетворяющий вместе с х^* системе условий f_х(x) - λ^T Rg(x) = 0

b – g(x) = 0

и при этом справедливы соотношения:

λ_i^* = ∂f* /∂b_i i = 1, m

Во многих экон-их задачах целевая функция имеет размерность стоимости (т.е. цены, умноженной на объем продукции). С помощью ограничений вида g(x)=b устанавливаются определенные величины для затрат ресурсов. Поскольку в таких задачах с помощью множителей Лагранжа измеряют, по сути, чувствительность величины f*=f(х*), имеющей размерность стоимости, к изменениям некот кол-ва затраченного ресурса, то эти множители в этом случае имеют размерность цены. По этой причине множители Лагранжа часто называют теневыми ценами (данного вида ресурсов)