14 Балансовая модель Леонтьева

Применяется для решения различных задач, связанных с экономикой нескольких отраслей.

Необходимыми условиями для применения модели являются: 1) неизменность структурных связей отраслей экономики; 2) отсутствие революционных изменений в технологиях пр-ва отраслей.

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через x_i (i=1,n) объем валового выпуска i-ой отрасли за некоторый период в условных единицах. Через z_ij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью.

Если экономика находится в стабильном состоянии, то должно выполняться уравнение баланса:

x₁=z₁₁+z₁₂+...+z_1n+y₁

x₂=z₂₁+z₂₂+...+z_2n+y₂

.................................. (1)

x_n=z_n1+z_n2+...+z_nn+y_n

Леонтьев предположил, что величины z_ij взаимных потреблений отраслей явл-ся линейными функциями пр-ва и опис-ся как:

(2) z_ij=a_ij*x_j, где a_ij – структурный коэффициент, содержательно означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед), кот необходимо затратить для пр-ва единицы продукции j-ой отрасли. Матрица А = (a_ij), эл=ты кот – структурные коэф-ты наз-ся структурной матрицей.

Структурная матрица и определяет структуру взаимодействия всех отраслей эк-ки.

Подстановка (2) в (1) дает:

x₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n+y₁

(3) x₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n+y₂

x_n=a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n+y_n

Пусть:

x₁

х= … - вектор валового выпуска отраслей

x_n

y₁

у= ... – вектор конечного продукта отраслей

y_n

тогда систему (3) можно записать в компактом виде х=Aх+у – балансовая модель Леонтьева. C помощью этой модели можно решать множество прикладных задач экономики.

15 Понятия точки, радиус-вектора точки в многомерном пространстве. Понятие вектора, его модуля, скалярного произведения векторов. Формула, определяющая угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

Точка – абстрактный объект, хар-ся только расположением.

Любая точка Х хар-ся в плоскости двумя числами (х₁,х₂) наз координатами этой точки.

Направленный отрезок из начала координат в точку Х – радиус-вектор этой точки. Его длина или модуль есть число х=х₁²+х₂² . любой направленный отрезок в плоскости, имеющий такой же модуль и направление наз вектором х.

Компоненты вектора х₁ и х₂ определяют положение точки Х на плоскости, если начало вектора х совпадает с началом координат. В подробной записи вектора отображают матрицами вектор-столбца х^т=(х₁ х₂).

Для векторов определены операции умножения их на число, сложения. При этом для двумерных векторов удобны геометрические схемы для операций сложения(умножения) на число.

Операции скалярного умножения опред-ся след образом:

<х,у> = х₁у₁ + х₂у₂

<х,у> = х^ту

Углом _xy м/у векторами 2-мерного пространства наз угол, опред-ый по формуле:

_xy = arcos (<х,у> /xy)= arcos ( x₁y₁+x₂y₂ / х₁²+х₂² * у₁²+у₂²)

Аналогично точкой в n-мерном пространстве наз-ся объект, характ-емый набором чисел (x₁,x₂,...x_n). эти числа наз координатами точки. Точка, все координаты кот равны 0 наз точкой начала координат.

Направленный отрезок, соединяющий начало координат с координатой (x₁,x₂,...x_n) наз радиус-вектором этой точки. Запись х  Rⁿ указывает, что это радиус-вектор, имеющий n-компонент (направленный отрезок в n-мерном пространстве).

По определению модулем (длиной) вектора х наз число, определенное по формуле: х=_i=1ⁿx_i²

Углом _xy между векторами n-мерного пространства наз угол:

_xy = arcos (<х,у> /xy) = arcos (_i=1ⁿx_iy_i / _i=1ⁿx_i²*_i=1ⁿy_i²)

2 вектора х, у  Rⁿ наз ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно 0, т.е. <х,у> = 0.

Элементы векторного пространства Rⁿ можно интерпретировать как точки и как радиус-векторы, направленные отрезки из начала координат в эти точки, поэтому далее под фразой «xRⁿ» будем понимать точку n-мерного пространства с радиус-вектором х.

Введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.

Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором,

Z_p=x+(y-x), где [0,1]. Эта формула наз формулой отрезка и м.б. переписана в след виде:

z_p=(1-)x+y, где [0,1]

Эти формулы без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство.

16 Понятие линейной комбинации и выпуклой линейной комбинации векторов. Понятия линейной независимости и линейной зависимости векторов. Понятие базиса и канонического базиса в Rⁿ. Понятие отрезка, соединяющего две точки в Rⁿ. Формула отрезка.

Система S={x₁,x₂...x_k} где x_iRⁿ i=1,k n-мерных векторов наз линейно-зависимой, а вектора этой системы линейно-зависимыми, если существуют числа ₁,₂,…_k R¹ среди кот есть отличные от 0, такие что: _i=1^k_ix_i=0 (1)

В противном случае система S наз линейно-независимой, а образующие её вектора линейно- независимыми векторами.

Выражение L=_i=1^k_ix_i (2) наз линейной комбинацией векторов системы S.

Если числа _i выражения (1) удовлетворяют требованию _i ≥ 0 (i=1,k) и _i=1^k_i=1, то тогда выражение (2) наз выпуклой линейной комбинацией.

Система S={x₁,x₂...x_k} наз базисом в пространстве Rⁿ, если выполняются следующие условия:

1) х_i Rⁿ

2) Система S линейно-независима

2) Любой вектор yRⁿ м.б. представлен в виде линейной комбинации векторов системы S

Система векторов {e₁,e₂,...e_n}, где:

e₁^T=(1,0...0); e₂^T=(0,1,...0); ...............; e_n-1^T=(0,0,...0,1,0); e_n^T=(0,0,...0,1) наз каноническим базисом n-мерного пространства

Отталкиваясь от плоскости введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.

Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором,

Z_p=x+(y-x), где [0,1]. Эта формула наз формулой отрезка и м.б. переписана в след виде:

z_p=(1-)x+y, где [0,1]

Эти формулы без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство.