1 Матрицы. Виды матриц

Числовой матрицей А_m*n наз прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

Числа, определяющие матрицу наз её элементами

а_ij матрицы находится в i-ой строке и j-ом столбце, номера которых указывают индексы элементов: i-индекс строки, j-индекс столбца

Говорят, что матрица A_m*n имеет размер m*n Если размер матрицы ясен из контекста, то индекс её размера опускается и т.о. матрицы обозначаются прописными буквами A,B,C…

Специальные матрицы

Матрица, имеющая 1 строку и 1 столбец наз матрицей-скаляром

Матрица, имеющая только 1 строку наз вектор-строкой

Матрица, имеющая только 1 столбец наз вектор-столбцом. А транспон-ся в вектор-строку с помощью операции трансп-ия и обозн-ся А^т

Матрица, у которой число строк и столбцов совпадает называют квадратной. Элементы квадратной матрицы, лежащие на линии, проведённой из левого верхнего угла в правый нижний угол называют элементами главной диагонали. Элементы квадратной матрицы лежащие на линии проведённой из верхнего правого угла в левый нижний угол наз элементами побочной диагонали. У элементов главной диагонали, индексы столбца и строки совпадают между собой:

Произвольная матрица, все элементы которой равны 0 наз нулевой матрицей и обозначается O

Квадратная матрица, все элементы которой равны 0, за исключением элементов главной диагонали, которые равны1 наз единичной матрицей и обозначается E.

Операции над матрицами

1) Операции сравнения.

Матрицы А и В равны (А=В), если они имеют одинак размер, а все их соответств-ие элементы равны м/у собой a_ij= b_ij (i=1,m, j=1,n)

Говорят, что матрица A больше (> < ≤ ≥) матрицы B, если матрицы имеют одинаковый размер и при этом a_ij>b_ij (i=1,m, j=1,n) (> < ≤ ≥)

2) Операция сложения определена для любых двух матриц, имеющих одинаковый размер. Суммой С матриц А,В наз матрица А+В элементы которой определены соотношением: c_ij=a_ij+b_ij i=1,m j=1,n

Свойства:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

3) Умножение матриц на число любая матрица А может быть умножена на произвольное число k, как слева так и справа в результате получается матрица С=kА=Аk, элементы которой определяются соотношением c_ij=ka_ij (i=1,m j=1,n)

4) Операция вычитания определена для матриц одинакового размера. Разностью С=А-В матриц А и В наз матрица С=А+(-1)В, где эл-ты равны c_ij= a_ij – b_ij (i=1,m, j=1,n)

5) Операция произведения матриц. Произведение матриц С=А*В определено тогда и только тогда, когда количество столбцов левого сомножителя равно числу строк правого сомножителя, в результате получаем матрицу С=А*В, которая имеет столько строк, сколько левый сомножитель и столько столбцов, сколько правый сомножитель. Элементы произведения матриц определяются по формуле: с_ij=∑_k=1ⁿa_ik*b_kj,

Свойства

(А*В)С=А(ВС)

(А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ

А*Е=Е*А=А

А*0=0*А=0

А*В≠В*А

Матрица для которой А*В=В*А наз коммутативным или перестановочными

6) Операция возведения матрицы в степень определена для квадратных матриц. Пусть k- любое целое неотриц число. k-ой степенью А^k матрицы А наз матрица, опред-ая след-им образом:

E, если k=0

A^k=

A^k-1*A, k>0

Свойства:

А^k*A^p=A^k+p

(А^k)^p=A^kp

7) Операция транспонирования определена для любых матриц. Пусть А_mxn произвольная матрица. Рассмотрим матрицу В_nxm эл-ты кот как b_ji=a_ij (i=1,m, j=1,n) Матрица В, опред-ая то наз транспонир-ой матрицей А и запис-ся А^т. При трансп-ии матрицы ее строки стан-ся столбцами, а столбцы – строками трансп-ой матрицы.

Свойства:

(А+В)^т = А^т+В^т

(А*В)^т = В^т*А^т

(А^т)^т = А

В специальный класс операций над матрицами выделяются следующие операции, называемые элементарными преобразованиями матриц:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число ≠ 0

2)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой её строки (столбца), умноженных на произвольное число

3) перестановка строк (столбцов) матриц местами.

!!! Любое элементарное преобразование матрицы может быть осуществлено последовательностью операций произведения этой матрицы на матрицы специального вида.

Теорема о представлении элементарных преобразований матриц операциями их умножения.

Справедливы следующие утверждения:

1) умножение i-ой строки матрицы А_mxn на число  эквивалентно операции умножения L*A, где L – это квадратная матрица вида

(i)

1……….

…1…….

L_(i)=…… …

…….….

…………1 n*n

2) Прибавление к i-ой строке матрицы А_mxn ее j-ой строки, умноженной на число , эквивалентно операции умножения L*A, где L –

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

L_(i)=0 0 1… 0 0

0 0 0 0  0

0 0 0 0 0 1

3) Перестановка строк матрицы А местами м.б. осуществлена конечной последовательностью умножений слева на эту матрицу матриц вида 1 и 2.