10 Понятие элементарного преобразования слу и виды элементарных преобразований слу

Элементарное преобразование СЛУ – преобразования (целенаправленные изменения) , кот оставляют СЛУ эквивалентными.

К элементарным преобразованиям относятся следующие:

1) перестановка любых 2ух уравнений местами

2) удаление из СЛУ «пустых» уравнений вида 0х₁+0х₂+…0х_n=0

3) умножение обоих частей в каком-либо ур-ии СЛУ на число 0

4) прибавление к какому-либо из уравнению СЛУ др уравнения этой же СЛУ, умноженного на произвольное число 0.

Эти эл-ые преобразования удобно представлять в виде эл-ых преобразований строк т.н. расширенной матрицы-системы (Ab), получаемой приписыванием к матрице А справа вектор-столбца b правой части СЛУ.

11 Теорема Кронекера-Капелли

Данная теорема отвечает на вопрос о существовании решений СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли СЛУ Ах=b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы-системы А равен рангу расширенной матрицы-системы: r(A) =r(AB)

Расширеннаяматрица-система (Ab), получается приписыванием к матрице А справа вектор-столбца b правой части СЛУ.

Следствие: Однородная СЛУ Ах=0 имеет не нулевое решение, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа её неизвестных

12 Метод Крамера решения слу

Этот метод предназначен для решения СЛУ в которых количество уравнений равно числу неизвестных т.е. матрица-система является квадратной.

Метод применяется только для тех СЛУ, где определитель не равен 0.

В основе метода лежит теорема Крамера:

Справедливы утверждения:

1) СЛУ Ах=b имеет единственное решение тогда и только тогда, когда │А│0

2) Если │А│0, то решение может быть найдено по формуле:

x_j=Д_j (b)/Д

где Д=│А│, Д_j (b)– это определитель матрицы-системы, в кот ее j-ый столбец заменен на столбец правой части b.

13 Метод Гаусса решения слу

Основан на том факте, что элементарные преобразования СЛУ дают эквивалентные системы.

Метод Гаусса состоит в последовательной реализации шагов, на каждом из кот производятся следующие действия:

1) Из системы, полученной после предыдущих шагов, удаляются все пустые уравнения вида: 0х₁+0х₂+…0х_n=0

если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение вида

0х₁+0х₂+…0х_n=b0 то исходная СЛУ несовместна, т.е. не имеет решений.

2) Пусть противоречивых уравнений нет. Тогда 1 из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных – за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:

а) на предыдущих шагах выбранное уравнение не было разрешающим

б) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от 0. Этот коэффициент наз разрешающим элементом

3) Разрешающая неизвестная исключается из всех уравнений кроме разрешающего. Для этого разрешающее уравнение прибавляется к каждому из уравнений СЛУ после умножения на подходящее число.

Преобразования заканчиваются, если ни одно из уравнений не может быть взято за разрешающее (все они перебывали в этой роли). Те неизвестные, которые в процессе преобразований были разрешающими наз базисными. Те неизвестные, которые не были разрешающими наз свободными.

Если число уравнений финальной СЛУ равно числу неизвестных, то тогда все эти неизвестные побывали в числе разрешающих и исходная СЛУ имеет единственное решение, непосредственно вытекающее из финальной СЛУ.

В случае, когда число уравнений финальной системы меньше числа неизвестных, то тогда те неизвестные, которые не были в качестве разрешающих, объявляются свободными и могут принимать любые значения.

Неизвестные, которые побывали в качестве разрешающих наз базисными. Значения базисных переменных полностью определяются свободными и непосредственно вытекают из финальной СЛУ.

Замечания:

1) Реализация метода Гаусса даёт ответ на вопрос о совместности системы. Система совместна тогда и только тогда, когда при реализации метода Гаусса не возникает противоречивых уравнений

2) В процессе преобразований Гаусса допускаются промежуточные преобразования СЛУ.

3) В любой момент преобразования Гаусса м.б. остановлены. Текущая система м.б. рассмотрена в качестве исходной и преобразования м.б. возобновлены по другой схеме.