4. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема об умножении определителей.

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения

А=_i=1ⁿa_ijA_ij – по j-ому столбцу

А=_j=1ⁿa_ijA_ij – по i-ой строке

Следовательно – выражение для вычисления определителя разложением по столбцу:

А=_i=1ⁿ (-1)^i+j a_ij M_ij По строке: А=_j=1ⁿ (-1)^i+j a_ij M_ij

Теорема об умножении определителей

Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.

АВ=А*В

5. Понятие обратной матрицы. Теорема об обратной матрице

Пусть задана квадратная матрица А_n*n. Матрица В_n*n такая, что А*В=В*А=Е наз обратной к матрице А и обозначается А^-1

А^-1 *А=А*А^-1 =Е

Теорема об обратной матрице

Справедливы утверждения:

1) Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен 0 (А0)

2) Если обратная матрица существует, то ее можно найти по формуле:

А^-1= (1/А)*А^*

Где А^* является союзной матрицей и определяется по формуле

А^*=(А_ij)^т, т.е. элементами союзной матрицы являются элементы транспонированной матрицы алгебраических дополнений

По теореме о связи минора и алгебраических дополнений обратная матрица равна

А^-1=(1/А)*((-1)^i+jM_ij)^т

6 Методы поиска обратной матрицы: метод союзной матрицы и метод элементарных преобразований.

Метод союзной матрицы.

Обратная матрица методом союзной матрицы находится по формуле:

А^-1= (1/А)*А^*

Где союзной является матрица: А^*=(А_ij)^т

Суть метода:

1) поиск алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы А_ij=(-1)^i+jM_ij и составление из них союзной матрицы А^*.

2) находится обратная матрица А^-1 по формуле А^-1= (1/А)*А^*

Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований

Обоснование метода: основан на том факте, что любая невырожденная (определитель матрицы ≠ 0) матрица с помощью конечной последовательности элементарных преобразований над ее строками (столбцами) м.б. приведена к единичной матрице. Согласно теореме о представлении элементарных преобразований матрицы операциями умножения это означает, что справедливо выражение:

L_k L_k-1…L₁*A=E

Где А – исходная матрица, L₁, L₂, …, L_k – матрицы специального вида, умножение на которые реализует соответствующие элементы преобразований.

Т.к. матрица А по условию не вырожденная, то у нее есть обратная матрица А^-1.

Умножим обе части выражения справа на А^-1:

L_k L_k-1…L₁*A*А^-1=E*А^-1

L_k L_k-1…L₁*Е=А^-1

Полученное выражение означает, что те же самые элементы преобразования над единичной матрицей приводят ее к обратной.

Суть:

Шаг1. Записывается т.н. двойная матрица, получаемая приписыванием справа к исходной матрице А единичной того же размера (АЕ)

Шаг2. Над строками полученной двойной матрицы выполняются элементарные преобразования т. о, чтобы на месте исходной матрицы А получить единичную. Тогда месте единичной матрицы в двойной матрице будет сформирована искомая обратная матрица.

7 Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы (о базисном миноре)

Минором k-ого порядка произвольной матрицы А наз определитель матрицы, составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A