17 Понятие выпуклого множества. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Понятие гиперплоскости в Rn. Понятие полупространства.

Множество точек n-мерного пространства содержащие все точки отрезка соединяющего любые 2 точки этого множества наз выпуклым множеством

Теорема о пересечении выпуклых множеств

Пересечение любого числа выпуклых множеств явл выпуклым множеством.

Множество точек xRⁿ удовлетворяющих условию c^Tx=, где Rⁿ - некоторое фиксированное число, наз гиперплоскостью в n-мерном пространстве

Уравнение c^Tx= наз уравнением гиперплоскости

Теорема о разделяющей гиперплоскости

Любая гиперплоскость разделяет все пр-во Rⁿ на 2 непересекающихся множества p₁ и p₂, наз полупространствами: p₁={xRⁿ:c^Tx}, p₂={xRⁿ:c^Tx>}

18 Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства. Понятие выпуклого многогранника.

Теорема о разделяющей гиперплоскости

Любая гиперплоскость разделяет все пр-во Rⁿ на 2 непересекающихся множества p₁ и p₂, наз полупространствами: p₁={xRⁿ:c^Tx}, p₂={xRⁿ:c^Tx>}

Теорема о выпуклости полупространства

Полупространство явл выпуклым множеством.

По теореме о пересечении выпуклых множеств пересечения конечного числа полупространств явл выпуклым множеством и наз выпуклым многогранником

19 Понятие системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств.

Система с₁^тх ₁

с₂^тх ₂

……..

с_n^тх _n наз системой линейных неравенств

здесь с₁ с₂ … с_n Rⁿ ; ₁ ₂ … _nRⁿ фиксированы.

Множество точек xRⁿ, удовлетворяющих этой системе, наз решением системы линейных неравенств.

В случае малой размерности (когда n  3) для системы лин нер-в можно рименять графический метод ее решения.

В основе метода лежат теоремы о разделяющей гиперплоскости и о выпуклости полупространства.

Суть:

1) для каждого i-ого неравенства с_i^тх _i строится графическим образом плоскость (n=3) или прямая (n=2), получаемая заменой знака неравенства на знак равенства. Такая плоскость (прямая) наз критической. Она разделяет все пространство на область «хороших», удовлетворяющих неравенству точек и «плохих».

2) проводится подстановка любой точки, не лежащей на критической прямой, в текущее неравенство, тем самым определяется область «хороших» и «плохих» точек.

3) после выявления «хороших» полупространств для каждого неравенства производится их пересечение.

20 Постановка задачи математического программирования (змп). Разновидности змп

ЗМП или оптимизационной задачей наз задача вида: f(x)max(min) xДRⁿ, где f(x) – целевая функция, ДRⁿ – область допустимых значений

Решить ЗМП - либо найти все такие x^*Д : f(x^*)f(x) (f(x^*)f(x)) xД, либо установить неразрешимость поставленной задачи

xД наз допустимым решением (планом ЗМП)

x^* уд-щее условию x^*Д : f(x^*)f(x) (f(x^*)f(x)) наз оптимальным решением (планом) задачи.

В качестве целевой функции f(x) могут выступать функции, выражающие прибыль, объём производства, затраты, потери и т.д. Область допустимых решений Д как правило задается системой уравнений и неравенств.

Разновидности ЗМП:

1) В случае, когда область ограничений совпадает с областью определения целевой функции имеет ЗМП без ограничений: f(x)max(min) x Rⁿ

2) Если область ограничений задается системой уравнений, то такая ЗМП наз ЗМП канонической формы (ЗМП с ограничением равенства): f(x)max(min)

g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂

………

g_m(x)=b_m

3) Если область ограничений задается системой неравенств, то такая ЗМП наз ЗМП с ограничениями-неравенствами: f(x)max(min)

g₁(x) ≤ b₁

g₂(x) ≤ b₂

………..

g_m(x) ≤ b_m

4) ЗМП со смешанными ограничениями имеет вид: f(x)max(min)

g₁(x)=b₁

……….

g_m(x)=b_m

h₁(x) ≤ ₁

………..

h_k(x) ≤ _k