2 Определители. Определение и свойства определителей

Определитель – числовая функция, заданная на квадрате матриц.

Перестановка Р={i₁,i₂ ,...,i_n} чисел (1,2, … n) – это расположение целых натуральных чисел в произвольном порядке. Например: {1,2,3}; {1,3,2}.

Говорят, что в перестановке Р эл-ты i_k,i_l образуют инверсию (непорядок), если выполняется условие (i_k-i_l)(k-l)<0

Путь I(P) – число инверсий в перестановке Р, например для перестановки Р={1,2,3} число инверсий равно 0 для Р={3,2,1} I(P)=3

Определителем │A│ квадратной матрицы A_n*n наз алгебраическая сумма n! слагаемых каждое из которых есть произведение n элементов матрицы А взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем эти слагаемые берутся сл знаком +, если число инверсий в перестановке индексов столбцов элементов этого произведения четно, и со знаком – в противном случае.

│A│‌‌=∑_i1=1ⁿ∑_i2=1ⁿ...∑_in=1 ⁿ = a_1i1*a_2i2*….*a_nin*(-1)^{I (i1, i2, … , in)} (i₁≠i₂≠…. ≠i_n)

Эта формула громоздка и неудобна для практического вычисления. Поэтому на практике определители большого порядка вычислят по др схемам, например – по схемам разложения по строке или столбцу.

Из определения следует, что определитель матрицы первого порядка будет равен │А_1*1│=а₁₁

Определители 2 и 3 порядка вычисляют по следующим из формулы схемам:

Определитель матрицы 2 порядка │А_2*2│=а₁₁*а₂₂-а₁₂*а₂₁ (Разность м/у элементами главной и побочной диагонали)

Определитель матрицы 3 его порядка │А_3*3│=а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₁₃*а₂₁*а₃₂-а₁₁*а₂₃*а₃₂-а₁₂*а₂₁*а₃₂-а₁₃*а₂₂*а₃₁ (правило Сарррюса)

Свойства определителей:

1 При транспонировании матрицы её определитель не меняется │А^т│=│А│

2 Если в матрице есть нулевая строка или столбец, то её определитель равен 0

3 При перестановке 2 строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный

4 Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на число λ, то определитель этой матрицы будет равен λ*│А│

5 определитель матрицы не изменится, если к любой его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на какое-либо число

6 Если матрица имеет 2 одинаковые строки (столбца), то определитель =0

3.Алгебраическое дополнение и минор

Существует 2 принципиально различных понятия минора – минор К-ого порядка и минор элемента матрицы.

Минором k-ого порядка произвольной матрицы А наз определитель матрицы, составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A

Главным минором К-ого порядка (угловым) матрицы A наз определитель матрицы составленный из k 1ых строк и k 1ых столбцов матрицы A

Минором М_ij элемента а_ij матрицы А наз определитель матрицы А, полученный вычёркиванием j-ого столбца i-ой строки, содержащих эл-т a_ij. (Он существует только для квадратных матриц).

Рассмотрим определитель матрицы А │A│‌‌=∑_i1=1ⁿ∑_i2=1ⁿ...∑_in=1 ⁿ = a_1i1*a_2i2*….*a_nin*(-1)^{I (i1, i2, … , in)} (i₁≠i₂≠…. ≠i_n). Выберем все слагаемые включающие элемент а_kl и вынесем этот элемент за скобку, выражение стоящее в скобках наз алгебраическим дополнением элемента а_kl матрицы А и обозначается А_kl

Теорема (о связи алгебраического дополнения и минора)

Минор М_ij и алгебраическое дополнение Аij эл-та а_ij связаны следующим соотношением:

А_ij=(-1)^i+jM_ij

Т.о. алгебраическое дополнение либо совпадает с минором М_ij либо равен – M_ij в зависимости от того является ли сумма i+j чётным числом или нечётным