29 Теорема о необходимых условиях экстремума. Теорема о достаточных условиях экстремума. Теорема об условиях определенности матрицы (Критерий Сильвестра) Теорема о необходимых условиях экстремума

Пусть функция f(x) имеет в точке x^* экстремум, тогда все ее частные производныеые первого порядка в этой точке равны 0, т.е. x^*является стационарной точкой:

f(x^*)/x_i = f ’x_i = 0,

Это соотношение эквивалентно f(x^*)=0

Теорема о достаточных условиях экстремума.

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стационарной точке x^*, тогда точка x^* является точкой мах, если матрица Гессе Н(x^*) функции f(x) в т. x^* отрицательно определена, и точкой min,если матрица Н(x^*) положительно определена.

Теорема об условиях определённости матрицы.

Справедливы утверждения:

1)квадратная матрица положительно определена <=> когда все ее главные (угловые) миноры положительны

2) квадратная матрица отрицательно определена <=> когда знак любого ее главного (углового) минора каждого порядка совпадает со знаком (-1)^К

30 Классический метод поиска экстремума функции без ограничений (схема реализации)

Метод применяется для решения задачи f(x)→max (min) и состоит в выполнении 2 шагов.

Шаг1. Определяются все стационарные точки целевой функции f(x) для чего решается система уравнений f(x^*)/x_i = f ’x_i = 0 или уравнение f(x^*)=0.

Шаг2. В найденных стационарных точках вычисляются матрицы Гессе и устанавливаются типы определенности этих матриц. Для определения типа определенности используется Теорема об условиях определенности матриц (Критерий Сильвестра). После определения определенности матрицы Гессе устанавливается тип экстремума с помощью теоремы о достаточных условиях экстремума.

!!! Если при реализации классического метода матрица Гессе не явл ни положительно, ни отрицательно определённой в какой-либо стационарной точке то, скорее всего, экстремума в этой точке нет. НО для исчерпывающего ответа необходимо более детальное исследование f(x) в текущей стационарной точке (например, разложение Тейлора и анализ производных по всем возможным направлениям).

31 Постановка задачи нелинейного программирования (знлп) с ограничениями равенствами

Решается задача f(x)→ min (max) (1)

g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂ (2)

………

g_m(x)=b_m

Которая м.б. записана в виде

f(x)→min (max) (3)

g(x)=b (4) где g(x) – вектор функция ограничения исходной задачи, компонентами кот являются функции g_i(x) (i=1,m) стоящие в левой части системы ограничений (2).

В общем случае f(x) и g_i(x) являются нелинейными функциями.

Множество точек х, являющихся решением системы ограничений (2) задают область ограничений ДRⁿ задач (1)-(2) и (3)-(4).

Сформулируем теорему, дающую достаточные условия существования решения ЗНЛП общего вида:

f(x)→ min (max) (5),

хД с Rⁿ (6)

Теорема Вейерштрасса:

Пусть область ограничений Д, задачи (5)-(6) является не пустым и компактным множеством, тогда непрерывная целевая функция f(x),заданная на этом множестве, достигает глобального условного экстремума на внутренней или граничной точке множества Д.

Данная теорема справедлива для любых ЗНЛП в том числе и для задач с ограничениями-равенствами.