Ранг матрицы r(a) – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы

Ранг матрицы тесно связан с понятием линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим произвольную матрицу А. Обозначим через А_j – j-ый столбец матрицы А.

Рассмотрим систему S={Ai₁, Ai₂, …, Ai_k} – набор столбцов матрицы А.

Система столбцов S матрицы А, наз линейно-зависимой, если существует набор чисел ₁₂…_k среди кот есть отличные от 0, такой, что _j=1^k_jAi_j=0

Столбцы, входящие в систему S, наз-ся линейно-зависимыми.

В случае, когда набора чисел ₁₂…_k при кот выполняется последнее соотношение не существует, то тогда система S наз линейно-независимой.

Выражение L=_j=1^k_jAi_j=₁ Ai₁ + ₂ Ai₂ + … + _k Ai_k стоящее в левой части первого выражения наз-ся линейной комбинацией столбцов системы S.

Система столбцов S матрицы А наз базисом системы всех столбцов матрицы А, если:

1) система S линейно-независима

2) любой столбец матрицы А может быть представлен в след виде линейной комбинации столбцов системы S, т.е. для каждого р=1, n

А_p = _j=1^kj_p Ai_p

Аналогично определяются понятия линейной зависимости-независимости строк матрицы, базиса в системе строк.

Любой отличный от 0 минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы наз её базисным минором

Теорема о ранге (базисном миноре)

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-независимых ее столбцов (строк), при этом система столбцов (строк) матрицы, содержащая базисный минор образует базис системе всех столбцов (строк) матрицы

8.Методы поиска ранга матрицы: метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований Метод окаймляющих миноров

Пусть некоторый минор матрицы k-ого порядка М_k0, тогда ранг этой матрицы по меньшей мере равен k, т.е. r(A)  k . Рассмотрим все окаймляющие (содержащие в себе минор М_k) миноры k+1 порядка. Если все они равны 0, то значит ранг матрицы равен k, но если найдётся хотя бы один M_k+10, тогда процедура повторяется снова

Метод элементарных преобразований

Основан на том, что эл-ые преобразования не изменяют ранга матрицы. Метод заключается в осуществлении последовательности эл-ых преобразований над строками (столбцами) исходной матрицы. В результате все эл-ты становятся равными = за исключением S эл-ов главной диагонали. Следовательно, ранг матрицы равен S.

Св-ва ранга

1) 0≤ r(A)  min {m,n}

2) r(AВ)  min {r(A) r(В) }

3) r(A) = r(A^T)= r(AА^т)

4) r(A+В) ≤ r(A) + r(В)

5) ранг произведений некоторой матрицы А слева или справа на невырожденную матрицу подходящего размера равен рангу исходной матрицы. r(AВ)= r(СA) , │В│≠ 0, │С│≠ 0

9 Слу и формы ее записи (представления): развернутая, матричная и векторная.

СЛУ наз любая конечная совокупность линейных уравнений.

Рассмотрим выражение Аx=b, где

a₁₁ a₁₂...a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ...a_2n

a_m1 a_m2 ...a_mn

b₁

b₂

b= ....

b_m

x₁

x₂

x= ...

x_n

Это выражение, где матрица А- задана, правая часть (b) задана, а вектор-столбец х неизвестен, наз СЛУ в матричной форме представления.

Пользуясь операцией умножения матриц, первое выражение можно представить в виде:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…а_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...a_2nx_n=b₂

....................................

a_m1x₁+a_m2x₂+...a_mnx_n=b_m

Это выражение представляет собой развернутую форму СЛУ.

Ещё одной формой представления СЛУ явл векторная форма записи:

_j=1ⁿA_jx_j=b здесь А_j – j-ый столбец матрицы А,

Гл задачей, связанной со СЛУ является задача ее решения.

Решением СЛУ является упорядоченный набор чисел х₁ х₂ … х_n или вектор-столбец

x₁

x₂

x= ...

x_n

который после подстановки в СЛУ обращает их в тождество.

СЛУ наз совместной если у неё есть хотя бы одно решение в противном случае эта система наз несовместной

Совместная СЛУ наз определённой, если у неё есть только одно решение и неопределённой в противном случае.

2 СЛУ наз эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают.

Если правая часть СЛУ равна 0 (b=0), то такая СЛУ наз однородной, иначе СЛУ наз неоднородной