24.Производная функции двух переменных по направлению .Градиент и его свойства.

Производной z1 штрих по направлению lфункции двух переменных z=f(x,y) называется предел отношения приращения функций в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю .

Градиентом ∆z функции z=f(x, y) называется вектор с координатами (zxштрих,zyштрих )

Свойства градиента :

1. Производная в данной точке по направлению вектора s имеет наибольшее значение, если направление вектора s совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .|grad u|

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.

25.Необходимое и достаточное условия локального экстримума функции двух переменных.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, - локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

26.Условный экстримум.

Условным экстремумом функции z = f (х, у) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаны уравнением фи (х, у) = 0

27.Первообразная.Понятие неопределенного интеграла.

Первообразная/

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x)на промежутке Х,если в каждой точке х этого промежутка F`(x)=f(x).

Понятие неопределенного интеграла.

Совокупность всех первообразных для функции f(x)на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx,где ∫-знак интеграла,f(x)-подинтегральная функция,f(x)dx-подинтегральное выражение .

28.Свойства неопределенного интеграла .Табличные интегралы.

1.Производная от неопределенного интеграла =подинтегральной функции.

2.Диференциал неопределенного интеграла = подинтегральному выражению .

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции =этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

29.Замена переменной в неопределенном интеграле .Формула интегрирования по частям .

Теорема.Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют неприрывные производные на отрезке[a,в],Тогда

∫от а до в udv=uv|от а до в-∫от а до в vdu (Формула интегрирования по частям)

30.Определенный интеграл ,его геометрический смысл и свойства. Формула Ньютона –Лейбница.

Определенный интеграл.

Пусть предел интегральной сумы при стремлении мах ∆хi к нулю существует,конечен и независит от способа выбора точек х1,х2…и точек ξ1,ξ2…Называется оперделенным интегралом.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл х) dx представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).

свойства.

1.Постоянный множетель можно выносить за знак интеграла,т.е. где α некоторое число.

2.Интеграл от алгеброической суммы двух функций =такой же сумме интегралов от этих функций .

3.Если отрезок интегрирования разбит на части,то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей,т.е. при любых а,в,с.

4.Если на отрезке [a,b] f(x)≤g(x),то и ,т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5.Если функция у=f(x) неприрывна на отрезке [a;в] ,где а<в ,то найдется токое значение ξ принадл.[a;b]

Формула Ньютона –Лейбница.

31.Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

Метод замены переменной в определенном интеграле описывается следующей формулой:

∫f(x)dx)=∫f(фи(t))фи`(t)dt

Формула интегрирование по частям.

∫udv-uv-∫vdu

32.Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площядей плоских фигур.

S=∫ а до б f(x)dx.

33.Приблеженные методы вычисления определенного интеграла.

34.Несобственные интегралы. Определение ,примеры.

Несобственным интегралом∫от α до +∞f(x)dx от функции f(x) на полуинтервале [α,+∞) называется предел функции F(t) при t ,стремящимся к +∞

35.Диференциальные уровнения 1-ого порядка.Геометрическое истолкование решения.Общие и частные решения.Задачи и теорема Коши.

Уравнение первого порядка ,разрешенных относительно производной ,в виде y`=f(x,y),где f некоторая функция двух переменных .

Пусть в дифференциальном уравнении y`=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производнаяdf:dy неприрывны на открытом множестве Г координатной плоскости Oxy,тогда:

1.Для всякой точки (x0,y0) множества Г найдется решение y=y(x) уравнения y`=f(x,y),удолетворяющее начальному условию y0=y(x0)

2.Если два решения y=y1(x) и y=y2(x) уровнения y`=f(x,y)совпадают хотябы для одного значения х=х0,т.е. если y1(x0)=y2(x0) ,то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х,для которых они определены.

Геометрическое истолкование решения.Общие и частные решения.

Геометрический смысл теоремы состоит в том ,что через каждую точку (x0,y0) множества Г проходит одна и тольок одна интегральная кривая уровнения y`=f(x,y).

36.Диффернециальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимищся переменами.

Диференциальное уравнение первого порядка,называется уровнением с разделяющимися переменными ,если оно может быть представлено в виде:

dy:dx=f(x)g(y)

37. Диффернециальные уравнения 1-ого порядка.Теоремы об общем решении однородного уравнения и об общем решении неоднородного уранения.

Диференциальное уравнение первого порядка,называется однородным ,если оно может быть представлено в виде :y`=g(y/x).

В случае,когда функция g(x) =0,уравнение называется однородным,в противном случае-неоднородном.

38.Метод вариации постоянных.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

39.Линейные диффернециальные уравнения 2-ого порядка, теоремы об общем решении однородного и неоднородного уравнения.

Теорема 1.

Если y1(x) и y2(x) –линейно независимые частные решения уравнения y=е в степени лямда х , то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, для некоторых действительных чисел С1 и С2.

Теорема 2.1

Пусть характеристическое уравнение лямда в степени 2+ р лямда +q=0 уравнения y``+py`+qy=0 имеет действительные корни лямда1 и лямда 2 ,причем лямда 1 не = лямда 2.Тогда общее решение уравнения y``+py`+qy=0 имеет вид :

2.Если характеристическое уравнение лямда в степени 2+ р лямда +q=0 имеет одни корень лямда ,то общее решение уравнения y``+py`+qy=0 имеет вид:

3.Если характеристическое уравнение лямда в степени 2+ р лямда +q=0 не имеет действительных корней,то общее решение уравнения y``+py`+qy=0 имеет вид:

Теорема 3.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y``+py`+qy=r(x) = сумме общего решения соответствующего однородного уравнения у``+py`+qy=0 и частного решения исходного неоднородного уравнения y``+py`+qy=r(x)