6.Функции ,неприрывные на отрезке. Свойства функций, неприрывных на отрезке .

Функция называется непрерывной в точке х0 , если она :

1) определена в точке и ее окрестности;

2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

Свойства функций, неприрывных на отрезке:

1.Если функция у=f(x) неприрывна на отрезке [a;в] ,то она ограничена на этом отрезке

2.Если функция у=f(x) неприрывна на отрезке [a;в] ,то она достигает на этом отрезке наименьшего значения м и наибольшего значения М.

3.Если функция у=f(х) неприрывна на отрезке [a;в]и значения ее на концах отрезка f(a) и f(в) имеет противоположное значение ,то внутри отрезка найдется точка ξ принадлеж.(а;в),такая что f(ξ)=0.

7.Производная функции, ее геометрический и механический смысл.Дифференцируемость и неприрывность функции.

Производная функции у= f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к 0.

Геометрический и механический смысл.

Геометрический :производная f`(х0) есть угловой коэффициент касательной ,проведенной к кривой у=f(x) в точке x0

Механический: Производная пути по времени есть скорость точки в момент t0:v(t0)=s`(t0)

Дифференцируемость и неприрывность функции.

Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, имеющая дифференциал.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения.Функция имеющая производную в некоторой точке,в этой точке неприрывна.

8.Производные элементарных функций .

…

9.Основные правила дифференцирования.

1.производная постоянной=0

2.производная аргумента =1

3.производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций=такой же сумме производных этих функций

4.(uв)`=u`в+uв`

5.

10.Диференциал функции и его использование в приблеженных вычислениях.Производные и дифференциалы высших порядков.

…

11.Теорема Ферма.

Если дифференцируемая на промежутке х функция у=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка,то производная функции в этой точке=0.

12.Теорема Рояля.

Пусть функция у=f(x) удолетворяет следующим условиям :

1.неприрывна на отрезке [а;в]

2.диференцируемая на интервале (а;в)

3.на концах отрезка принимает равные значения

13.Теорема Лагранжа .

Пусть функция у=f(x) удолетворяет следующим условиям :

1.неприрывная на отрезке [а;в]

2.диференцируема на интервале (а;в)

Тогда внутри отрезка существует по крайне мере одна такая точка ξ принадлеж.(а;в) в которой производная=частному от аргумента на этом отрезке .

14.Теорема Коши. Правило Лопиталя .

Теорема Коши

Пусть функция f(x) и h(x) неприрывна на отрезке [а;в] ,дифференцируема в интервале (а;в), причем f`(x)не =0,в(а;в).Тогда найдется такая точка ξ из (а;в).Для которой выполняется равенство

f(b)-f(a): h(b)-h(a)=f`(ξ):h`(ξ)

Правило Лопиталя- теорема утверждает что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

15.Возврастание и убывание функции. Исследование возрастание и убывания функции с помощью производной.

Возврастание и убывание функции.

Функция у=f`(x) называется возврастающей (убывающейся)на промежутке х ,если для любых х1 и х2,причем х2>х1 ,верно неравенство :f(х2)>f(x1) и f(x2)<f(x1).

Исследование возрастание и убывания функции с помощью производной.

Достаточное условие возврастания функции.

-если производная дифференцируемой функции положительная внутри ,некоторого промежутка Х,то она возврастает на этом промежутке

Достаточное условие убывание функции.

-если производная дифференцируемой функции отрицательная внутри некоторого промежутка Х,то она убывает на этом промежутке