Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
математический_анализ1108.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
20.07.2019
Размер:
1.19 Mб
Скачать

1. Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие вполне определённый элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответсвия. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции.

Способы задания фун-ий.

а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)

б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).

в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).

г)логический

3. Число назыв. односторонним пределом слева фун-ии f(x) в точке сгущения x0, если для ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x0-δ, x0] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х0, если если ∀ε>0

∃δ>0, такое, что x∈(x0-δ, x0] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х0, если если ∀ε>0 ∃δ>0, такое ,что х ∈[ x0, x0 + δ) =>

Сущ-ие предела в точке. Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х, стремящемся к х0 (или точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство

Обозначается или

2. Определение предела по Коши. Функция y=f(x), определенная в A, имеет предел С в точке сгущения x0, если ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x0-δ, x0) ∪(x0, x0+δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, С+ε). Существование предела записывают в виде limxx0 f(x)=C или |x-x0|<δ⇒|f(x)-C|< ε.

Определение предела по Гейне. Если для различных последовательностей {xn}, стремящихся к x0, последовательность значений функции {f(xn)} сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).

Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.

Свойства предела : предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2)Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4)Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5)Предел частногоПредел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

если

4. 1) фун-ия не может иметь более одного предела:

Предположим противное, т.е. фун-ия имеет f(x) имеет два предела A и D, A≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами фун-ий в соответствии с формулой Вычитая почленно эти равенства, получим . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства бесконечно малых есть величина бесконечно малая => предположения о сущ-ии второго предела неверно.

2) предел алгебраической суммы конечного числа фун-ий равен такой же сумме пределов этих фун-ий, т.е.

3) предел произведения конечного числа фун-ий равен произведению пределов этих фун-ий, т.е.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

4) предел частного 2х фун-ий равен частному пределов этих фун-ий (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

5)если

, то предел сложной фун-ии

6) если в некоторой окрестности точки х0 (или при достаточно больших х) , то

5. Ф-я назыв. бесконечно большой при , если для любого, сколь угодно большого положительного числа М>0, найдётся такое положит. число , что для всех х ≠ х0 и удовлетворяющ. условию , будет верно неравенство

Св-ва:

1) Произведение б.б.величины на ф-ю, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно большая

2) Сумма б.б. величины и ограниченной ф-ии есть величина бесконечно большая

3) Частное от деления б.б величины на ф-ю, имеющ. предел, есть величина бесконечно большая

Ф-я назыв. бесконечно малой величиной при , или при , если её предел равен нулю:

Ф-я назыв. бесконечно малой при , если для любого, даже сколь угодно малого положит. числа , найдётся такое положит. число , что для всех х ≠ х0 и удовлетворяющ. условию

Св-ва:

1) Алгебраическая сумма конечного числа б.м.величин есть величина бесконечно малая

2) Произведение б.м.величины на ограниченную фун-ию есть величина бесконечно малая

3) Частное от деления б.м.величины на ф-ю, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно мала

6.Функция αn называется бесконечно малой функцией при x→x0, если ее предел равен 0.

Если α(x) и β(x) – бесконечно малые функции и limx→x0 β(x)/α(x)=0, то функция β(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости относительно α(x), что записывается в виде β=o(α).

Если limx→x0 β(x)/αk(x)=A (отличное от 0 конечное число), то β(x) называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно α(x).

Если limx→x0 β(x)/α(x)=1, то β(x) и α(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: β(x)~α(x).

, то это бесконечно малые фун-ии одного порядка

7. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, называется первым замечательным пределом. Этот предел равен единице.

Предел последовательности

называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу e:

8. Фун-ия назыв. непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет 3м условиях: 1) определена в точке х0 (т.е. сущ-ет )) 2) имеет конечный предел фун-ии при 3) этот предел равен значению фун-ии в точке х0, т.е.

Фун-ия назыв. непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечное малое приращение фун-ии:

Различают точки разрыва: первого рода (когда сущ-ет конечные односторонние пределы фун-ии слева и справа , не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не сущ-ет). К точкам разрыва первого рода также относятся точки устранимого разрыва, когда предел фун-ии при сущ-ет, но не равен значению фун-ии в этой точке.

Теоремы

1)Если фун-ия непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке

2)Если фун-ция непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (теорема Вейерштрасса)

3)Если фун-ция непрерывна на отрезке [a;b] и значения её на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка , такая, что (теорема Больцано-Коши)

Разрывная функция - функция, имеющая разрыв в некоторых точках

9. Производной фун-ии назыв. предел отношения приращения фун-ии к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-ет):

Нахождении производ. фун-ии назыв. дифференцированием этой фун-ии.

Геометрич. смысл произв-ой: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к кривой

Физич. смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент :

10.Если фун-ция в точке х имеет конечную производную, то фун-ия назыв. дифференцируемой в этой точке. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде:

Δf =f(x0 + Δx)−f(x0) = A·Δx+o(Δx) ,

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

11. Сформулируем некоторые теоремы о производных.

Теорема. Если существуют производные  и функций и , то существует

;

Следствие.  так как  (рис. 32), т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.

Теорема. Если функция в точке имеет производную, то она в этой точке непрерывна.

Обратное неверно. На рис. 30 изображена непрерывная функция, у которой в точке нет производной.

Теорема о производной сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке , причем .

Короче:  в произвольной точке .

12.Если y=f(u), где u=(x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

13.Пусть фун-ия дифференцируема и строго монотонна на (a;b). Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая фун-ия , котор. называют обратной к , а её производная вычисляется по формуле

14 Производной функции y=f(x) в точке x0 (обозначается y'(x0) или f’(x0)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:

y’(x0)=limx-->0 f(x0+∆x) – f(x0)/ ∆x.

Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций.

  1. (с)=0;

  2. (uv)’=u’v+uv’;

  3. (u/v)’=u’v-uv’/v2

  4. (c/v)’= - cv’/v2;

  5. (sinx)’=cosx;

  6. (tgx)’=sec2x;

  7. (u+v-w)’=u’+v’-w’;

  8. (cu)’=cu’;

  9. (u/c)’=u’/c;

  10. (xn)’=nxn-1;

  11. (cosx)’= - sinx;

  12. (ctgx)’= - cosec2x.

Производная сложной функции.

Если y=f(u), где u= (x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

  1. (un)’=nun-1*u’;

  2. (sinu)’=cosu*u’;

  3. (cosu)’= - sinu*u’;

  4. (tgu)’=sec2u*u’;

  5. (ctgu)’= - cosec2u*u’.

Производные показательных и логарифмических функций.

  1. (au)’=aulna*u’;

  2. (eu)’=euu’;

  3. (ax)’=axlna;

  4. (ex)’=ex;

  5. (logu)’=u’/u*loge;

  6. (lnu)’=u’/u;

  7. (logx)’=1/x*loge;

  8. (lnx)’=1/x.

Производные обратных тригонометрических функций.

  1. (arcsinu)’=u’/ √1-u2;

  2. (arccosu)’= - u’/ √1-u2;

  3. (arctgu)’= u’/1+u2;

  4. (arcctgu)’=u/1+u2;

  5. (arcsinx)’=1/ √1-x2;

  6. (arccosx)’= - 1/ √1-x2;

  7. (arctgx)’= 1/1+x2;

  8. (arcctgx)’=1/1+x2.

15. Производной порядка высшего порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной, т.е.

Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной фун-ии.

16.Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x0∈(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x0)=0.

17.Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.

18.Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

19. Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы ∀x ∈(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).

20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:

  1. Если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=0, то limxx0f(x)/φ(x)=(0/0)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если limxx0f'(x)=limxx0φ’(x)=0, то limxx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=limxx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.

  2. Если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=∞, то limxx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=∞, то limxx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.

21. ,

где - остаточный член формулы Тейлора:

22. Фун-ия назыв. возрастающ. (убывающ.) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение фун-ии. Фун-ии возрастающ. и убывающ. назыв. монотонными фун-ям.

23. Экстремум функции

Значение f(x0) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции y=f(x), если при любом достаточно малом δ выполняется условие f(x0)>f(x) (f(x0)<f(x)) ∀x∈(x0- δ) ∪(x0+ δ). Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума – точками экстремума.

Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум, то производная f’(x)обращается в 0 или не существует.

Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть x0 – критическая точка функции y=f(x); если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке x0 имеет локальный максимум (локальный минимум);если же производная f’(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет в точке x0 локального экстремума.

Теорема (второе достаточное условие). Пусть f'(x0)=0 и f’’(x0)≠0, тогда функция y=f(x) в точке x0 имеет экстремум, причем x0 – точка локального максимума (минимума), если f’’(x0)<0 (f’’(x0)<0).

24. Если в точке M(x0, f(x0)) графика функции y=f(x) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка M(x0, f(x0)) называется точкой перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке M(x0, f(x0)) график функции y=f(x) имеет точку перегиба, а сама функция имеет непрерывную вторую производную, тогда f''(x) в точке x0 обращается в 0, т.е. f’’(x0)=0.

Точки графика функции, в которых вторая производная равна 0 или не существует, называются критическими точками II рода.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x0 и пусть в самой точке f''(x0)=0 или f’’(x0) не существует. Тогда, если в указанной окрестности f''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0, график функции имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)).

25. Прямая линия L называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки M(x,y), лежащей на кривой, до прямой L стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Если limxaf(x)=+∞ или limxaf(x)= - ∞, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Если limx+∞f(x)=b или limx-∞f(x)=b, то прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если существуют одновременно пределы:

k=limx+∞f(x)/x, b=limx+∞(f(x)-kx)

или

k=limx-∞f(x)/x, b=limx-∞(f(x)-kx).

26. Схема исследования графиков функции y=f(x):

  1. Определить область существования функции;

  2. Исследовать функцию на четность и нечетность;

  3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

  4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой;

  5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;

  6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определить точки перегиба;

  7. Построить график функции.

27. Функция z называется однозначной функцией двух переменных х и у, если к каждой паре значений х и у поставлено в соответствии единственное значение z (z=f(x;y) = z=f(M), где M (x;y)). Способы задания : аналитический, графический, табличный. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл. График функции двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y).

28. δ- окрестность для х – это интервал. Для двух переменных круг.

Пусть задана функция двух переменных M0 (x;y). Число А называется пределом функции f(M) в точке М0, если для любого ε>0 существует δ=δ(ε) такое, что для x, принадлеж. ρ(ММ0)<δ за исключением М0 выполняется неравенство │f(М)-А│<ε. Предел ф-ции двух переменных в точке сущ тогда и только тогда, если он сущ по любому направлению и при этом все пределы равны.

29.Повторные пределы: lim xx0 lim yy0 f(x,y) lim yy0 lim xx0 f(x,y)

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

30.Функция f(x,y) – непрерывна в М0, если для любого ε>0 существует δ=δ(ε) такое, что для всех xєρ(ММ0)<δ выполняется условие │f(M) – f(M0)│<ε. lim MM0 f(M)=f(M0).

31. Частной производной от функции z=f(x, y) по независимой переменной x называется конечный предел

limx→0 f(x+∆x, y)-f(x, y)/∆x=limx→0 ∆zx/∆x=∂z/∂x=f’x(x, y),

вычисленный при постоянном значении y.

Частной производной по y называется конечный предел

limy→0 f(x, y+∆y)-f(x, y)/∆y= limy→0 ∆zy/∆y=∂z/∂y= f’y(x, y),

вычисленный при постоянной значении x.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

32. Функция Z(x,y) называется дифференцируемой в точке (х0,у0), если ее полное приращение представлено в виде двух сумм: одна – линейная относительно Δх, Δу; вторая – бесконечно малая величина относительно ρ.

33. Для нахождения производной от нескольких переменных применяют следующую теорему.

Т: Если фун f(U,V), U(x,y), V(x,y) имеют частные производные по своим аргументам, то справедливы следующие формулы:

∂z/∂х=(∂f/∂U)(∂U/∂х)+(∂f/∂V)(∂V/∂x)

∂z/∂y=(∂f/∂U)(∂U/∂y)+(∂f/∂V)(∂V/∂y)     

Доказательство:

34. Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y)

35. Пусть z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y), пусть l0=(cosα, cosβ) – единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через точку M(x, y). Выберем на прямой L точку M1(x1, y1)= M(x, y)+τ*l0. Рассмотрим приращение функции ∆z=z(M1)-z(M)=f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y) в точке M(x, y).

Предел отношения limτ→0 f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y)/τ, если он существует, называется производной функции z=f(x, y) в точке M(x, y) по направлению l0=(cosα, cosβ) и обозначается ∂z/∂l.

Если функция z=f(x, y) имеет в точке M(x, y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки M(x, y); вычисляется эта производная по формуле ∂z/∂l=∂z/∂x* cosα+∂z/∂y* cosβ, где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора l0.

36. Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M0, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).

Градиент обозначается grad z=(∂z/∂x, ∂z/∂y).

Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u=f(x,y,z) в точке M(x, y, z):

∂u/∂l=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂u/∂z*cosγ;

grad u(M)=( ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора l0. Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u=f(M).

37. Пусть функция z=f(x,y) имеет первые частные производные ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y в точке M(x,y) и в каждой точке некоторой окрестности точки M (x,y). Тогда частные производные от частных производных ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от функции z=f(x,y) в точке M (x,y). Частные производные второго порядка обозначаются

∂/∂x*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x2=f’’xx(M); ∂/∂y*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x∂y=f''yx(M);

∂/∂x*(∂z/∂y)= ∂2z/∂x∂y=f''xy(M); ∂/∂y*(∂z/∂y)= ∂2z/∂y2=f''yy(M).

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. ∂2z/∂x∂y=∂2z/∂y∂x. Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.

38.

39. Если частные производные непрерывны в т. М(х,у), то функция z = (х, у) дифференцируема в этой точке Аналогично для функции вводится понятие дифференцируемости и полного дифференциала Необходимое условие)Для того, чтобы являлось в некоторой области G полным дифференциалом некоторой функции u=F(x,y), необходимо, чтобы в этой области

(х,у Î G)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть (14.11) - полный дифференциал функции u = F(x,y). Имеем

.

Отсюда в силу единственности дифференциала получим

, .

Дифференцируя первое по у, а второе - по х, будем иметь

, .

Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*)

.

С л е д с т в и е. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом.