1. Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие вполне определённый элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответсвия. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции.
Способы задания фун-ий.
а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)
б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).
в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).
г)логический
3.
Число
назыв. односторонним пределом слева
фун-ии f(x)
в точке сгущения x0,
если
для ∀ε>0
∃δ>0,
такое, что x∈(x0-δ,
x0]
=> f(x)
Число
назыв. односторонним пределом справа
фун-ии f(x)
в точке сгущения х0,
если если
∀ε>0
∃δ>0, такое, что x∈(x0-δ, x0] => f(x)
Число
назыв. односторонним пределом справа
фун-ии f(x)
в точке сгущения х0,
если если
∀ε>0
∃δ>0,
такое ,что х ∈[ x0,
x0
+
δ) => 
Сущ-ие
предела в точке. Число А назыв. пределом
фун-ии f(x)
при х, стремящемся к х0
(или точке х0),
если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа ε>0, найдётся
такое положительное число δ>0 (зависящее
от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х0
и удовлетворяющее условию 
,
выполняется неравенство 
Обозначается
или
2. Определение предела по Коши. Функция y=f(x), определенная в A, имеет предел С в точке сгущения x0, если ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x0-δ, x0) ∪(x0, x0+δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, С+ε). Существование предела записывают в виде limx→x0 f(x)=C или |x-x0|<δ⇒|f(x)-C|< ε.
Определение предела по Гейне. Если для различных последовательностей {xn}, стремящихся к x0, последовательность значений функции {f(xn)} сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).
Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.
Свойства предела : предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2)Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
4)Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
5)Предел частногоПредел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
если
4. 1) фун-ия не может иметь более одного предела:
Предположим
противное, т.е. фун-ия имеет f(x)
имеет два предела A
и D,
A≠D.
Тогда на основании теоремы о связи
бесконечно малых величин с пределами
фун-ий в соответствии с формулой
Вычитая
почленно эти равенства, получим 
.
Это равенство невозможно, т.к. на основании
свойства бесконечно малых 
есть
величина бесконечно малая => предположения
о сущ-ии второго предела неверно.
2)
предел алгебраической суммы конечного
числа фун-ий равен такой же сумме пределов
этих фун-ий, т.е. 
3)
предел произведения конечного числа
фун-ий равен произведению пределов этих
фун-ий, т.е. 
В
частности, постоянный множитель можно
выносить за знак предела, т.е. 
4)
предел частного 2х фун-ий равен частному
пределов этих фун-ий (при условии, что
предел делителя не равен нулю), т.е. 
5)если
,
то предел сложной фун-ии 
6)
если в некоторой окрестности точки х0
(или
при достаточно больших х) 
,
то 
5.
Ф-я
назыв. бесконечно большой при 
,
если для любого, сколь угодно большого
положительного числа М>0, найдётся
такое положит. число 
,
что для всех х ≠ х0
и удовлетворяющ. условию 
,
будет верно неравенство 
Св-ва:
1) Произведение б.б.величины на ф-ю, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно большая
2) Сумма б.б. величины и ограниченной ф-ии есть величина бесконечно большая
3) Частное от деления б.б величины на ф-ю, имеющ. предел, есть величина бесконечно большая
Ф-я
назыв. бесконечно малой величиной при
,
или при 
,
если её предел равен нулю: 
Ф-я
назыв. бесконечно малой при
,
если для любого, даже сколь угодно малого
положит. числа 
,
найдётся такое положит. число 
,
что для всех х ≠ х0
и удовлетворяющ. условию 
Св-ва:
1) Алгебраическая сумма конечного числа б.м.величин есть величина бесконечно малая
2) Произведение б.м.величины на ограниченную фун-ию есть величина бесконечно малая
3) Частное от деления б.м.величины на ф-ю, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно мала
6.Функция αn называется бесконечно малой функцией при x→x0, если ее предел равен 0.
Если α(x) и β(x) – бесконечно малые функции и limx→x0 β(x)/α(x)=0, то функция β(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости относительно α(x), что записывается в виде β=o(α).
Если limx→x0 β(x)/αk(x)=A (отличное от 0 конечное число), то β(x) называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно α(x).
Если limx→x0 β(x)/α(x)=1, то β(x) и α(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: β(x)~α(x).
,
то это бесконечно малые фун-ии одного
порядка
7.
Предел
отношения синуса бесконечно малой дуги
к самой дуге, выраженной в радианах,
называется первым
замечательным пределом.
Этот предел равен единице. 
Предел
последовательности
называется
вторым
замечательным пределом.
Этот предел равен числу e:
8.
Фун-ия
назыв. непрерывной в точке х0,
если
она удовлетворяет 3м условиях: 1) определена
в точке х0
(т.е. сущ-ет 
))
2) имеет конечный предел фун-ии при 
3) этот предел равен значению фун-ии в
точке х0,
т.е.
Фун-ия
назыв. непрерывной в точке х0,
если она определена в этой точке и
бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечное малое
приращение фун-ии: 
Различают точки разрыва: первого рода (когда сущ-ет конечные односторонние пределы фун-ии слева и справа , не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не сущ-ет). К точкам разрыва первого рода также относятся точки устранимого разрыва, когда предел фун-ии при сущ-ет, но не равен значению фун-ии в этой точке.
Теоремы
1)Если
фун-ия 
непрерывна на отрезке [a;b],
то она ограничена на этом отрезке
2)Если фун-ция непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (теорема Вейерштрасса)
3)Если
фун-ция
непрерывна на отрезке [a;b]
и значения её на концах отрезка 
имеют противоположные знаки, то внутри
отрезка найдётся точка 
,
такая, что 
(теорема Больцано-Коши)
Разрывная функция - функция, имеющая разрыв в некоторых точках
9. Производной фун-ии назыв. предел отношения приращения фун-ии к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-ет):
Нахождении производ. фун-ии назыв. дифференцированием этой фун-ии.
Геометрич.
смысл произв-ой: производная 
есть угловой коэффициент (тангенс угла
наклона) касательной, проведённой к
кривой 
Физич.
смысл производной: производная пути по
времени 
есть скорость точки в момент 
:
10.Если фун-ция в точке х имеет конечную производную, то фун-ия назыв. дифференцируемой в этой точке. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде:
Δf =f(x0 + Δx)−f(x0) = A·Δx+o(Δx) ,
где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .
Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом
11. Сформулируем некоторые теоремы о производных.
Теорема.
Если существуют производные
и
функций
и
,
то существует
;
Следствие.
так
как
(рис.
32), т.е. постоянный множитель выносится
за знак производной.
Теорема.
Если функция в точке
имеет
производную, то она в этой точке
непрерывна.
Обратное
неверно. На рис. 30 изображена непрерывная
функция, у которой в точке
нет
производной.
Теорема
о производной сложной функции.
Пусть функция
имеет
производную в точке
,
а функция
имеет
производную в точке
.
Тогда сложная функция
имеет
производную в точке
,
причем
.
Короче:
в
произвольной точке
.
12.Если y=f(u), где u=(x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.
Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.
dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).
13.Пусть
фун-ия
дифференцируема и строго монотонна на
(a;b).
Пусть также в точке 
производная 
.
Тогда в точке 
определена дифференцируемая фун-ия
,
котор. называют обратной к
,
а её производная вычисляется по формуле
14 Производной функции y=f(x) в точке x0 (обозначается y'(x0) или f’(x0)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:
y’(x0)=lim∆x-->0 f(x0+∆x) – f(x0)/ ∆x.
Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций.
(с)’=0;
(uv)’=u’v+uv’;
(u/v)’=u’v-uv’/v2
(c/v)’= - cv’/v2;
(sinx)’=cosx;
(tgx)’=sec2x;
(u+v-w)’=u’+v’-w’;
(cu)’=cu’;
(u/c)’=u’/c;
(xn)’=nxn-1;
(cosx)’= - sinx;
(ctgx)’= - cosec2x.
Производная сложной функции.
Если y=f(u), где u= (x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.
Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.
dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).
(un)’=nun-1*u’;
(sinu)’=cosu*u’;
(cosu)’= - sinu*u’;
(tgu)’=sec2u*u’;
(ctgu)’= - cosec2u*u’.
Производные показательных и логарифмических функций.
(au)’=aulna*u’;
(eu)’=euu’;
(ax)’=axlna;
(ex)’=ex;
(logu)’=u’/u*loge;
(lnu)’=u’/u;
(logx)’=1/x*loge;
(lnx)’=1/x.
Производные обратных тригонометрических функций.
(arcsinu)’=u’/ √1-u2;
(arccosu)’= - u’/ √1-u2;
(arctgu)’= u’/1+u2;
(arcctgu)’=u/1+u2;
(arcsinx)’=1/ √1-x2;
(arccosx)’= - 1/ √1-x2;
(arctgx)’= 1/1+x2;
(arcctgx)’=1/1+x2.
15. Производной порядка высшего порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной, т.е.
Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной фун-ии.
16.Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x0∈(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x0)=0.
17.Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.
18.Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
19. Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы ∀x ∈(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).
20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:
Если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=0, то limxx0f(x)/φ(x)=(0/0)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если limxx0f'(x)=limxx0φ’(x)=0, то limxx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=limxx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.
Если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=∞, то limxx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=∞, то limxx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.
21.
,
где
- остаточный член формулы Тейлора:
22.
Фун-ия
назыв. возрастающ. (убывающ.) на промежутке
Х, если большему значению аргумента из
этого промежутка соответствует большее
(меньшее) значение фун-ии. Фун-ии
возрастающ. и убывающ. назыв. монотонными
фун-ям.
23. Экстремум функции
Значение f(x0) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции y=f(x), если при любом достаточно малом δ выполняется условие f(x0)>f(x) (f(x0)<f(x)) ∀x∈(x0- δ) ∪(x0+ δ). Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума – точками экстремума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум, то производная f’(x)обращается в 0 или не существует.
Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть x0 – критическая точка функции y=f(x); если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке x0 имеет локальный максимум (локальный минимум);если же производная f’(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет в точке x0 локального экстремума.
Теорема (второе достаточное условие). Пусть f'(x0)=0 и f’’(x0)≠0, тогда функция y=f(x) в точке x0 имеет экстремум, причем x0 – точка локального максимума (минимума), если f’’(x0)<0 (f’’(x0)<0).
24. Если в точке M(x0, f(x0)) графика функции y=f(x) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка M(x0, f(x0)) называется точкой перегиба.
Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке M(x0, f(x0)) график функции y=f(x) имеет точку перегиба, а сама функция имеет непрерывную вторую производную, тогда f''(x) в точке x0 обращается в 0, т.е. f’’(x0)=0.
Точки графика функции, в которых вторая производная равна 0 или не существует, называются критическими точками II рода.
Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x0 и пусть в самой точке f''(x0)=0 или f’’(x0) не существует. Тогда, если в указанной окрестности f''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0, график функции имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)).
25. Прямая линия L называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки M(x,y), лежащей на кривой, до прямой L стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Если limxaf(x)=+∞ или limxaf(x)= - ∞, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).
Если limx+∞f(x)=b или limx-∞f(x)=b, то прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).
Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если существуют одновременно пределы:
k=limx+∞f(x)/x, b=limx+∞(f(x)-kx)
или
k=limx-∞f(x)/x, b=limx-∞(f(x)-kx).
26. Схема исследования графиков функции y=f(x):
Определить область существования функции;
Исследовать функцию на четность и нечетность;
Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат;
Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой;
Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;
Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определить точки перегиба;
Построить график функции.
27. Функция z называется однозначной функцией двух переменных х и у, если к каждой паре значений х и у поставлено в соответствии единственное значение z (z=f(x;y) = z=f(M), где M (x;y)). Способы задания : аналитический, графический, табличный. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл. График функции двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y).
28. δ- окрестность для х – это интервал. Для двух переменных круг.
Пусть задана функция двух переменных M0 (x;y). Число А называется пределом функции f(M) в точке М0, если для любого ε>0 существует δ=δ(ε) такое, что для x, принадлеж. ρ(ММ0)<δ за исключением М0 выполняется неравенство │f(М)-А│<ε. Предел ф-ции двух переменных в точке сущ тогда и только тогда, если он сущ по любому направлению и при этом все пределы равны.
29.Повторные
пределы:
lim
x→x0
lim
y→y0
f(x,y)
lim
y→y0
lim
x→x0
f(x,y)
Для
функции нескольких переменных можно
определить понятие предела по одной
из переменных при фиксированных
значениях остальных переменных. В связи
с этим возникает понятие повторного
предела.
30.Функция
f(x,y)
– непрерывна в М0, если для любого ε>0
существует δ=δ(ε) такое, что для всех
xєρ(ММ0)<δ
выполняется условие │f(M)
– f(M0)│<ε.
lim
M→M0
f(M)=f(M0).
lim∆x→0 f(x+∆x, y)-f(x, y)/∆x=lim∆x→0 ∆zx/∆x=∂z/∂x=f’x(x, y),
вычисленный при постоянном значении y.
Частной производной по y называется конечный предел
lim∆y→0 f(x, y+∆y)-f(x, y)/∆y= lim∆y→0 ∆zy/∆y=∂z/∂y= f’y(x, y),
вычисленный при постоянной значении x.
Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.
32. Функция Z(x,y) называется дифференцируемой в точке (х0,у0), если ее полное приращение представлено в виде двух сумм: одна – линейная относительно Δх, Δу; вторая – бесконечно малая величина относительно ρ.
33. Для нахождения производной от нескольких переменных применяют следующую теорему.
Т: Если фун f(U,V), U(x,y), V(x,y) имеют частные производные по своим аргументам, то справедливы следующие формулы:
∂z/∂х=(∂f/∂U)(∂U/∂х)+(∂f/∂V)(∂V/∂x)
∂z/∂y=(∂f/∂U)(∂U/∂y)+(∂f/∂V)(∂V/∂y)
Доказательство:
34. Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y)
35. Пусть z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y), пусть l0=(cosα, cosβ) – единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через точку M(x, y). Выберем на прямой L точку M1(x1, y1)= M(x, y)+τ*l0. Рассмотрим приращение функции ∆z=z(M1)-z(M)=f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y) в точке M(x, y).
Предел отношения limτ→0 f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y)/τ, если он существует, называется производной функции z=f(x, y) в точке M(x, y) по направлению l0=(cosα, cosβ) и обозначается ∂z/∂l.
Если функция z=f(x, y) имеет в точке M(x, y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки M(x, y); вычисляется эта производная по формуле ∂z/∂l=∂z/∂x* cosα+∂z/∂y* cosβ, где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора l0.
36. Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M0, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).
Градиент обозначается grad z=(∂z/∂x, ∂z/∂y).
Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u=f(x,y,z) в точке M(x, y, z):
∂u/∂l=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂u/∂z*cosγ;
grad u(M)=( ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора l0. Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u=f(M).
37. Пусть функция z=f(x,y) имеет первые частные производные ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y в точке M(x,y) и в каждой точке некоторой окрестности точки M (x,y). Тогда частные производные от частных производных ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от функции z=f(x,y) в точке M (x,y). Частные производные второго порядка обозначаются
∂/∂x*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x2=f’’xx(M); ∂/∂y*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x∂y=f''yx(M);
∂/∂x*(∂z/∂y)= ∂2z/∂x∂y=f''xy(M); ∂/∂y*(∂z/∂y)= ∂2z/∂y2=f''yy(M).
Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. ∂2z/∂x∂y=∂2z/∂y∂x. Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.
38.
39.
Если
частные производные
непрерывны
в т. М(х,у), то функция z =
(х,
у) дифференцируема в этой точке Аналогично
для функции
вводится
понятие дифференцируемости и полного
дифференциала
Необходимое
условие)Для
того, чтобы являлось в некоторой области
G полным дифференциалом некоторой
функции u=F(x,y), необходимо, чтобы в этой
области
(х,у Î
G)
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Пусть (14.11) - полный дифференциал функции u = F(x,y). Имеем
.
Отсюда в силу единственности дифференциала получим
,
.
Дифференцируя первое по у, а второе - по х, будем иметь
,
.
Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*)
.
С л е д с т в и е. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом.